対数関数のn回積分
対数関数のn回積分
\[ \left(\log x\right)^{(-n)}=\left(\log x-H_{n}\right)\frac{x^{n}}{n!} \]
\[ \left(\log x\right)^{(-n)}=\left(\log x-H_{n}\right)\frac{x^{n}}{n!} \]
\(n=0\)のとき
明らかに成立。\(n=k\)のとき成立すると仮定する
\begin{align*} \left(\log x\right)^{(-(k+1))} & =\int\left(\log x-H_{k}\right)\frac{x^{k}}{k!}dx\\ & =\left(\log x-H_{k}\right)\frac{x^{k+1}}{(k+1)!}-\int\frac{1}{x}\frac{x^{k+1}}{(k+1)!}dx\\ & =\left(\log x-H_{k}\right)\frac{x^{k+1}}{(k+1)!}-\frac{x^{k+1}}{(k+1)(k+1)!}\\ & =\left(\log x-H_{k}-\frac{1}{k+1}\right)\frac{x^{k+1}}{(k+1)!}\\ & =\left(\log x-H_{k+1}\right)\frac{x^{k+1}}{(k+1)!} \end{align*} となるので\(n=k+1\)でも成立(*)
故に与式は成り立つ。
ページ情報
| タイトル | 対数関数のn回積分 |
| URL | https://www.nomuramath.com/kgwgsfey/ |
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チェザロ平均と上限・下限・上極限・下極限の大小関係
\[
\limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_{k}\leq\limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n}
\]
連結空間の閉包・内部
連結であれば閉包も連結になる。
[python]リスト内包表記
print([i**2 for i in range(5)]) #[0, 1, 4, 9, 16]連結成分・弧状連結成分と開集合・閉集合の関係