2項係数の2乗和
中2項係数の2乗和
\(m\in\mathbb{Z}_{0}\)とする。
\[ \sum_{j=0}^{m}C^{2}(m,j)=C(2m,m) \]
\(m\in\mathbb{Z}_{0}\)とする。
\[ \sum_{j=0}^{m}C^{2}(m,j)=C(2m,m) \]
\begin{align*}
\sum_{j=0}^{m}C^{2}(m,j) & =\sum_{j=0}^{m}C(m,j)C(m,m-j)\\
& =C(2m,m)
\end{align*}
ページ情報
| タイトル | 2項係数の2乗和 |
| URL | https://www.nomuramath.com/y6xkt7ax/ |
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中央2項係数を含む通常型母関数
\[
\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k+1}C\left(2k,k\right)z^{k}=\frac{1}{2z}\left\{ 1-\left(1-4z\right)^{\frac{1}{2}}\right\}
\]
2項係数の特殊な積
\[
C(x,t)C(t,y)=C(x,y)C(x-y,x-t)
\]
中央2項係数の値
\[
C\left(2n,n\right)=4^{n}\left(-1\right)^{n}C\left(-\frac{1}{2},n\right)
\]
中央2項係数の通常型母関数
\[
\sum_{k=0}^{\infty}C\left(2k,k\right)z^{k}=\left(1-4z\right)^{-\frac{1}{2}}
\]