積分問題
\(n\in\mathbb{N}\)のとき、
\[ \int_{0}^{\infty}\frac{1}{1+x^{n}}dx \] を求めよ。
\[ \int_{0}^{\infty}\frac{1}{1+x^{n}}dx \] を求めよ。
\begin{align*}
\int_{0}^{\infty}\frac{1}{1+x^{n}}dx & =\frac{1}{n}\int_{0}^{\infty}\frac{y^{\frac{1}{n}-1}}{1+y}dy\qquad,\qquad y=x^{n}\\
& =\frac{1}{n}\int_{0}^{1}z^{-\frac{1}{n}}(1-z)^{\frac{1}{n}-1}dz\qquad,\qquad z=\frac{1}{1+y}\\
& =\frac{1}{n}B\left(1-\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right)\qquad,\qquad B\text{はベーター関数}\\
& =\frac{1}{n}\varGamma\left(1-\frac{1}{n}\right)\varGamma\left(\frac{1}{n}\right)\qquad,\qquad B\text{と}\varGamma\text{との関係}B(x,y)=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}\\
& =\frac{\pi}{n}\sin^{-1}\frac{\pi}{n}\qquad,\qquad\text{相反公式}\Gamma(x)\Gamma(1-x)=\pi\sin^{-1}\pi x
\end{align*}
ページ情報
| タイトル | 積分問題 |
| URL | https://www.nomuramath.com/aqufozzl/ |
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ウォリス積分の値
\[
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2m}\theta d\theta=\frac{C(2m,m)}{4^{m}}\frac{\pi}{2}
\]
ラクランジュの未定乗数法
\[
F\left(x_{1},\cdots,x_{n},\lambda_{1,}\cdots,\lambda_{m}\right)=f\left(x_{1},\cdots,x_{n}\right)-\sum_{k=1}^{m}\lambda_{k}g_{k}\left(x_{1},\cdots,x_{n}\right)
\]
数列・関数の和・積・商・スカラー倍の極限
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}b_{n}=ab
\]
合成関数の導関数・偏導関数
\[
\frac{df}{dt}=\sum_{k=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_{k}}\frac{dx_{k}}{dt}
\]