三角関数と双曲線関数の半角公式
三角関数の半角公式
(1)
\[ \sin^{2}\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{2} \](2)
\[ \cos^{2}\frac{x}{2}=\frac{1+\cos x}{2} \](3)
\[ \tan^{2}\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{1+\cos x} \](1)
２倍角の公式\[ \cos2\frac{x}{2}=1-2\sin^{2}\frac{x}{2} \] より、
\[ \sin^{2}\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{2} \]
(2)
２倍角の公式\[ \cos2\frac{x}{2}=2\cos^{2}\frac{x}{2}-1 \] より、
\[ \cos^{2}\frac{x}{2}=\frac{1+\cos x}{2} \]
(3)
\begin{align*} \tan^{2}\frac{x}{2} & =\frac{\sin^{2}\frac{x}{2}}{\cos^{2}\frac{x}{2}}\\ & =\frac{1-\cos x}{1+\cos x} \end{align*}双曲線関数の半角公式
(1)
\[ \sinh^{2}\frac{x}{2}=\frac{\cosh x-1}{2} \](2)
\[ \cosh^{2}\frac{x}{2}=\frac{\cosh x+1}{2} \](3)
\[ \tanh^{2}\frac{x}{2}=\frac{\cosh x-1}{\cosh x+1} \](1)
\begin{align*} \sinh^{2}\frac{x}{2} & =-\sin^{2}\frac{ix}{2}\\ & =-\frac{1-\cos ix}{2}\\ & =\frac{\cosh x-1}{2} \end{align*}(2)
\begin{align*} \cosh^{2}\frac{x}{2} & =\cos^{2}\frac{ix}{2}\\ & =\frac{1+\cos ix}{2}\\ & =\frac{\cosh x+1}{2} \end{align*}(3)
\begin{align*} \tanh^{2}\frac{x}{2} & =\frac{\sinh^{2}\frac{x}{2}}{\cosh^{2}\frac{x}{2}}\\ & =\frac{\cosh x-1}{\cosh x+1} \end{align*}
ページ情報
| タイトル | 三角関数と双曲線関数の半角公式 |
| URL | https://www.nomuramath.com/aeq4cukk/ |
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三角関数と双曲線関数の積和公式と和積公式
\[ \sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\left\{ \sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\right\}
\]
三角関数の部分分数展開
\[
\pi\tan\pi x =-\sum_{k=-\infty}^{\infty}\frac{1}{x+\frac{1}{2}+k}
\]
三角関数を正接の半角、双曲線関数を双曲線正接の半角で表す。
\[
\sin z=\frac{2\tan\frac{z}{2}}{1+\tan^{2}\frac{z}{2}}
\]
正接・双曲線正接の総和展開
\[
\tan\pi z=\frac{2z}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{\left(k-\frac{1}{2}\right)^{2}-z^{2}}
\]