三角関数と双曲線関数の半角公式
三角関数の半角公式
(1)
\[ \sin^{2}\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{2} \](2)
\[ \cos^{2}\frac{x}{2}=\frac{1+\cos x}{2} \](3)
\[ \tan^{2}\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{1+\cos x} \](1)
2倍角の公式\[ \cos2\frac{x}{2}=1-2\sin^{2}\frac{x}{2} \] より、
\[ \sin^{2}\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{2} \]
(2)
2倍角の公式\[ \cos2\frac{x}{2}=2\cos^{2}\frac{x}{2}-1 \] より、
\[ \cos^{2}\frac{x}{2}=\frac{1+\cos x}{2} \]
(3)
\begin{align*} \tan^{2}\frac{x}{2} & =\frac{\sin^{2}\frac{x}{2}}{\cos^{2}\frac{x}{2}}\\ & =\frac{1-\cos x}{1+\cos x} \end{align*}双曲線関数の半角公式
(1)
\[ \sinh^{2}\frac{x}{2}=\frac{\cosh x-1}{2} \](2)
\[ \cosh^{2}\frac{x}{2}=\frac{\cosh x+1}{2} \](3)
\[ \tanh^{2}\frac{x}{2}=\frac{\cosh x-1}{\cosh x+1} \](1)
\begin{align*} \sinh^{2}\frac{x}{2} & =-\sin^{2}\frac{ix}{2}\\ & =-\frac{1-\cos ix}{2}\\ & =\frac{\cosh x-1}{2} \end{align*}(2)
\begin{align*} \cosh^{2}\frac{x}{2} & =\cos^{2}\frac{ix}{2}\\ & =\frac{1+\cos ix}{2}\\ & =\frac{\cosh x+1}{2} \end{align*}(3)
\begin{align*} \tanh^{2}\frac{x}{2} & =\frac{\sinh^{2}\frac{x}{2}}{\cosh^{2}\frac{x}{2}}\\ & =\frac{\cosh x-1}{\cosh x+1} \end{align*}ページ情報
タイトル | 三角関数と双曲線関数の半角公式 |
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三角関数を正接の半角、双曲線関数を双曲線正接の半角で表す。
\[
\sin z=\frac{2\tan\frac{z}{2}}{1+\tan^{2}\frac{z}{2}}
\]
逆三角関数と逆双曲線関数の冪乗積分漸化式
\[
\int\sin^{\bullet,n}xdx=x\sin^{\bullet,n}x+n\sqrt{1-x^{2}}\sin^{\bullet,n-1}x-n(n-1)\int\sin^{\bullet,n-2}xdx
\]
偏角の三角関数
\[
\sin\Arg z=\frac{\Im z}{\left|z\right|}
\]
逆三角関数の負角、余角、逆数
\[
\cos^{\bullet}x+\sin^{\bullet}x=\frac{\pi}{2}
\]