双対写像の定義
双対写像の定義
(1)双対写像
体\(K\)上のベクトル空間\(V,W\)と線形写像\(f:V\rightarrow W\)があるとき、写像\(f^{*}:W^{*}\rightarrow V^{*},\phi\mapsto f^{*}\left(\phi\right)=\phi\circ f\)は線形写像となり、これを双対写像または転置写像という。(1)双対写像が線形写像になることの証明
任意の\(\phi_{1},\phi_{2}\in W^{*},\alpha_{1},\alpha_{2}\in K\)と任意の\(\boldsymbol{v}\in V\)について、\begin{align*} f^{*}\left(\alpha_{1}\phi_{1}+\alpha_{2}\phi_{2}\right)\left(\boldsymbol{v}\right) & =\left(\left(\alpha_{1}\phi_{1}+\alpha_{2}\phi_{2}\right)\circ f\right)\left(\boldsymbol{v}\right)\\ & =\left(\alpha_{1}\phi_{1}+\alpha_{2}\phi_{2}\right)\left(f\left(\boldsymbol{v}\right)\right)\\ & =\alpha_{1}\phi_{1}\left(f\left(\boldsymbol{v}\right)\right)+\alpha_{2}\phi_{2}\left(f\left(\boldsymbol{v}\right)\right)\\ & =\alpha_{1}\left(\phi_{1}\circ f\right)\left(\boldsymbol{v}\right)+\alpha_{2}\left(\phi_{2}\circ f\right)\left(\boldsymbol{v}\right)\\ & =\left(\alpha_{1}f^{*}\left(\phi_{1}\right)\right)\left(\boldsymbol{v}\right)+\left(\alpha_{2}f^{*}\left(\phi_{2}\right)\right)\left(\boldsymbol{v}\right)\\ & =\left(\alpha_{1}f^{*}\left(\phi_{1}\right)+\alpha_{2}f^{*}\left(\phi_{2}\right)\right)\left(\boldsymbol{v}\right) \end{align*} となり、これは任意の\(\boldsymbol{v}\in V\)について成り立っているので、\(f^{*}\left(\alpha_{1}\phi_{1}+\alpha_{2}\phi_{2}\right)=\alpha_{1}f^{*}\left(\phi_{1}\right)+\alpha_{2}f^{*}\left(\phi_{2}\right)\)となり\(f^{*}\)は線形写像となる。
ページ情報
| タイトル | 双対写像の定義 |
| URL | https://www.nomuramath.com/kc557deb/ |
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不変部分空間の定義と性質
\[
f\left(W\right)\subseteq W
\]
アフィン変換・正則アフィン変換・合同変換の定義
\[
f:K^{n}\rightarrow K^{n},\boldsymbol{x}\mapsto A\boldsymbol{x}+\boldsymbol{b}
\]
ベクトル空間と双対空間で恒等的に零となる式
\[
\exists\phi\in V^{*},\forall\boldsymbol{x}\in V,\phi\left(\boldsymbol{x}\right)=0\Leftrightarrow\phi=0_{V^{*}}
\]
双対写像の性質
線形写像$f$の表現行列が$A$ならば、双対写像$f^{*}$の表現行列は転置行列$A^{T}$となる。