(1)

存在性

\(V\)の基底の集合を\(S=\left(\boldsymbol{v}_{k}\right)_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\)として、\(V^{*}\)の双対基底の集合を\(S^{*}=\left(\boldsymbol{v}^{k}\right)_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\)とすると、\(\boldsymbol{v}^{j}\left(\boldsymbol{v}_{k}\right)=\delta_{k}^{j}\)を満たす。
ここで、任意の\(\boldsymbol{x}\in V\)について、ある\(\left(x^{k}\right)_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\subseteq K\)が存在し、\(\boldsymbol{x}=\sum_{k=1}^{n}x^{k}\boldsymbol{v}_{k}\)と表すことができる。
これより、\(k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} \)として\(\boldsymbol{v}^{k}:V\rightarrow K,\boldsymbol{x}=\sum_{j=1}^{n}x^{j}\boldsymbol{v}_{j}\mapsto x^{k}\)と定めると
\begin{align*} \sum_{j=1}^{n}x^{j}\delta_{j}^{k} & =x^{k}\\ & =\boldsymbol{v}^{k}\left(\boldsymbol{x}\right)\\ & =\boldsymbol{v}^{k}\left(\sum_{j=1}^{n}x^{j}\boldsymbol{v}_{j}\right)\\ & =\sum_{j=1}^{n}x^{j}\boldsymbol{v}^{k}\left(\boldsymbol{v}_{j}\right) \end{align*} となり、移項すると、
\begin{align*} 0 & =\sum_{j=1}^{n}x^{j}\delta_{j}^{k}-\sum_{j=1}^{n}x^{j}\boldsymbol{v}^{k}\left(\boldsymbol{v}_{j}\right)\\ & =\sum_{j=1}^{n}x^{j}\left(\delta_{j}^{k}-\boldsymbol{v}^{k}\left(\boldsymbol{v}_{j}\right)\right) \end{align*} となり、任意の\(\boldsymbol{x}\)について成り立つので、\(\boldsymbol{v}^{k}\left(\boldsymbol{v}_{j}\right)=\delta_{j}^{k}\)を満たす。
この\(\left(\boldsymbol{v}^{k}\right)_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\)が双対空間\(V^{*}\)の基底であることを示せば\(\boldsymbol{v}^{k}\left(\boldsymbol{v}_{j}\right)=\delta_{j}^{k}\)を満たしているので双対基底となる。

双対空間の元

まず、\(\left(\boldsymbol{v}^{k}\right)_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\)が双対空間\(V^{*}\)の元であることを示す。
\(\left(\boldsymbol{v}^{k}\right)_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\)は\(V\)から\(K\)への写像なので双対空間\(V^{*}=\hom\left(V,K\right)\)の元であることを示すには各\(\boldsymbol{v}^{k}\)が線形写像であることを示せばよい。
任意の\(k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} \)と\(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\in V\)について、ある\(\left(a^{k}\right)_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} },\left(b^{k}\right)_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\subseteq K\)が存在し、\(\boldsymbol{a}=\sum_{k=1}^{n}a^{k}\boldsymbol{v}_{k},b=\sum_{k=1}^{n}b^{k}\boldsymbol{v}_{k}\)となるので、
\begin{align*} \boldsymbol{v}^{k}\left(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\right) & =\boldsymbol{v}^{k}\left(\sum_{j=1}^{n}a^{j}\boldsymbol{v}_{j}+\sum_{j=1}^{n}b^{j}\boldsymbol{v}_{j}\right)\\ & =\boldsymbol{v}^{k}\left(\sum_{j=1}^{n}\boldsymbol{v}^{j}\left(\boldsymbol{a}\right)\boldsymbol{v}_{j}+\sum_{j=1}^{n}\boldsymbol{v}^{j}\left(\boldsymbol{b}\right)\boldsymbol{v}_{j}\right)\\ & =\boldsymbol{v}^{k}\left(\sum_{j=1}^{n}\left(\boldsymbol{v}^{j}\left(\boldsymbol{a}\right)+\boldsymbol{v}^{j}\left(\boldsymbol{b}\right)\right)\boldsymbol{v}_{j}\right)\\ & =\sum_{j=1}^{n}\left(\boldsymbol{v}^{j}\left(\boldsymbol{a}\right)+\boldsymbol{v}^{j}\left(\boldsymbol{b}\right)\right)\boldsymbol{v}^{k}\left(\boldsymbol{v}_{j}\right)\\ & =\sum_{j=1}^{n}\left(\boldsymbol{v}^{j}\left(\boldsymbol{a}\right)+\boldsymbol{v}^{j}\left(\boldsymbol{b}\right)\right)\delta_{j}^{k}\\ & =\boldsymbol{v}^{k}\left(\boldsymbol{a}\right)+\boldsymbol{v}^{k}\left(\boldsymbol{b}\right) \end{align*} となるので加法性を満たす。
また、任意の\(c\in K,\boldsymbol{a}\in V\)について、ある\(\left(a^{k}\right)_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\subseteq K\)が存在し、\(\boldsymbol{a}=\sum_{k=1}^{n}a^{k}\boldsymbol{v}_{k}\)となるので、
\begin{align*} \boldsymbol{v}^{k}\left(c\boldsymbol{a}\right) & =\boldsymbol{v}^{k}\left(c\sum_{j=1}^{n}a^{j}\boldsymbol{v}_{j}\right)\\ & =\boldsymbol{v}^{k}\left(c\sum_{j=1}^{n}\boldsymbol{v}^{j}\left(\boldsymbol{a}\right)\boldsymbol{v}_{j}\right)\\ & =\boldsymbol{v}^{k}\left(\sum_{j=1}^{n}\left(c\boldsymbol{v}^{j}\left(\boldsymbol{a}\right)\right)\boldsymbol{v}_{j}\right)\\ & =\sum_{j=1}^{n}\left(c\boldsymbol{v}^{j}\left(\boldsymbol{a}\right)\right)\boldsymbol{v}^{k}\boldsymbol{v}_{j}\\ & =\sum_{j=1}^{n}\left(c\boldsymbol{v}^{j}\left(\boldsymbol{a}\right)\right)\delta_{j}^{k}\\ & =c\boldsymbol{v}^{k}\left(\boldsymbol{a}\right) \end{align*} となるので斉1次性を満たす。
これより、任意の\(k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} \)について、\(\boldsymbol{v}^{k}\)は加法性・斉1次性を満たすので、線形写像となる。
従って、\(\left(\boldsymbol{v}^{k}\right)_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\subseteq V^{*}\)となる。
次にこの\(\left(\boldsymbol{v}^{k}\right)_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\)が基底となっていることを示す。

1次独立

\(\left(\boldsymbol{v}^{k}\right)_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\subseteq V^{*}\)が1次独立であることを示す。
\(\left(c_{k}\right)_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\subseteq K\)として、\(\sum_{k=1}^{n}c_{k}\boldsymbol{v}^{k}=\boldsymbol{0}_{V^{*}}\)が成り立つとする。
このとき、任意の\(\boldsymbol{x}\in V\)について、ある\(\left(x^{k}\right)_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\subseteq K\)が存在し、\(\boldsymbol{x}=\sum_{k=1}^{n}x^{k}\boldsymbol{v}_{k}\)と表すことができる。
これより、
\begin{align*} 0 & =\boldsymbol{0}_{V^{*}}\left(\boldsymbol{x}\right)\\ & =\left(\sum_{k=1}^{n}c_{k}\boldsymbol{v}^{k}\right)\left(\boldsymbol{x}\right)\\ & =\sum_{k=1}^{n}c_{k}\boldsymbol{v}^{k}\left(\boldsymbol{x}\right)\\ & =\sum_{k=1}^{n}c_{k}\boldsymbol{v}^{k}\left(\sum_{j=1}^{n}x^{j}\boldsymbol{v}_{j}\right)\\ & =\sum_{k=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}x^{j}c_{k}\boldsymbol{v}^{k}\left(\boldsymbol{v}_{j}\right)\\ & =\sum_{k=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}x^{j}c_{k}\delta_{j}^{k}\\ & =\sum_{k=1}^{n}x^{k}c_{k} \end{align*} となり、これが任意の\(\boldsymbol{x}\in V\)について成り立つには\(c_{1}=c_{2}=\cdots=c_{n}=0\)でなければいけない。
従って、\(\left(\boldsymbol{v}^{k}\right)_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\subseteq V^{*}\)は1次独立となる。

全域性

任意に\(\boldsymbol{y}^{*}\in V^{*}\)を1つ選ぶ。
このとき、任意の\(\boldsymbol{x}\in V\)について、ある\(\left(x^{k}\right)_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\subseteq K\)が存在し、\(\boldsymbol{x}=\sum_{k=1}^{n}x^{k}\boldsymbol{v}_{k}\)と表すことができる。
これより、
\begin{align*} \boldsymbol{y}^{*}\left(\boldsymbol{x}\right) & =\boldsymbol{y}^{*}\left(\sum_{k=1}^{n}x^{k}\boldsymbol{v}_{k}\right)\\ & =\boldsymbol{y}^{*}\left(\sum_{k=1}^{n}\boldsymbol{v}^{k}\left(\boldsymbol{x}\right)\boldsymbol{v}_{k}\right)\\ & =\sum_{k=1}^{n}\boldsymbol{v}^{k}\left(\boldsymbol{x}\right)\boldsymbol{y}^{*}\left(\boldsymbol{v}_{k}\right)\\ & =\sum_{k=1}^{n}\boldsymbol{y}^{*}\left(\boldsymbol{v}_{k}\right)\boldsymbol{v}^{k}\left(\boldsymbol{x}\right)\\ & =\left(\sum_{k=1}^{n}\boldsymbol{y}^{*}\left(\boldsymbol{v}_{k}\right)\boldsymbol{v}^{k}\right)\left(\boldsymbol{x}\right) \end{align*} となるので、
\[ \boldsymbol{y}^{*}=\sum_{k=1}^{n}\boldsymbol{y}^{*}\left(\boldsymbol{v}_{k}\right)\boldsymbol{v}^{k} \] となる。
従って、\(S^{*}=\left(\boldsymbol{v}^{k}\right)_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\)は\(V^{*}\)を生成するので全域性を満たす。

-

これらより、\(\left(\boldsymbol{v}^{k}\right)_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\subseteq V^{*}\)は1次独立・全域性を満たすので、\(V^{*}\)での基底となる。
また、\(\boldsymbol{v}^{j}\left(\boldsymbol{v}_{k}\right)=\delta_{k}^{j}\)を満たすので\(S^{*}=\left(\boldsymbol{v}^{k}\right)_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\)は\(S=\left(\boldsymbol{v}_{k}\right)_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\)の双対基底となる。
従って双対基底の存在性が示された。

一意性

次に\(S^{*}=\left(\boldsymbol{v}^{k}\right)_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\)の一意性を示す。
\(V\)の双対基底が\(\left(\boldsymbol{v}^{k}\right)_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\)と\(\left(\boldsymbol{u}^{k}\right)_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\)の2つあるとすると、双対基底なので、\(\boldsymbol{v}^{k}\left(\boldsymbol{v}_{j}\right)=\delta_{j}^{k}\),\(\boldsymbol{u}^{k}\left(\boldsymbol{v}_{j}\right)=\delta_{j}^{k}\)を満たす。
このとき、任意の\(\boldsymbol{x}\in V\)について、ある\(\left(x^{k}\right)_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\subseteq K\)が存在し、\(\boldsymbol{x}=\sum_{k=1}^{n}x^{k}\boldsymbol{v}_{k}\)となる。
これより、
\begin{align*} \boldsymbol{v}^{k}\left(\boldsymbol{x}\right) & =\boldsymbol{v}^{k}\left(\sum_{j=1}^{n}x^{j}\boldsymbol{v}_{j}\right)\\ & =\sum_{j=1}^{n}x^{j}\boldsymbol{v}^{k}\left(\boldsymbol{v}_{j}\right)\\ & =\sum_{j=1}^{n}x^{j}\delta_{j}^{k}\\ & =x^{k}\\ & =\sum_{j=1}^{n}x^{j}\delta_{j}^{k}\\ & =\sum_{j=1}^{n}x^{j}\boldsymbol{u}^{k}\left(\boldsymbol{v}_{j}\right)\\ & =\boldsymbol{u}^{k}\sum_{j=1}^{n}x^{j}\boldsymbol{v}_{j}\\ & =\boldsymbol{u}^{k}\left(\boldsymbol{x}\right) \end{align*} となり、これは任意の\(\boldsymbol{x}\in V\)について成り立つので、\(\boldsymbol{v}^{k}=\boldsymbol{u}^{k}\)となる。
従って、一意性が成り立つ。

-

これらより存在性と一意性が成り立つので題意は成り立つ。

(2)

任意の\(\boldsymbol{x}\in V\)について、ある\(\left(x^{k}\right)_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\subseteq K\)が存在し、\(\boldsymbol{x}=\sum_{k=1}^{n}x^{k}\boldsymbol{v}_{k}\)と表すことができる。
これより、
\begin{align*} \sum_{k=1}^{n}\boldsymbol{v}^{k}\left(\boldsymbol{x}\right)\boldsymbol{v}_{k} & =\sum_{k=1}^{n}\boldsymbol{v}^{k}\left(\sum_{j=1}^{n}x^{j}\boldsymbol{v}_{j}\right)\boldsymbol{v}_{k}\\ & =\sum_{k=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}x^{j}\boldsymbol{v}^{k}\left(\boldsymbol{v}_{j}\right)\boldsymbol{v}_{k}\\ & =\sum_{k=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}x^{j}\delta_{j}^{k}\boldsymbol{v}_{k}\\ & =\sum_{k=1}^{n}x^{k}\boldsymbol{v}_{k}\\ & =\boldsymbol{x} \end{align*} となる。
従って題意は成り立つ。

(3)

任意の\(\boldsymbol{y}^{*}\in V^{*}\)について、ある\(\left(y_{k}\right)_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\subseteq K\)が存在し、\(\boldsymbol{y}^{*}=\sum_{k=1}^{n}y_{k}\boldsymbol{v}^{k}\)と表すことができる。
これより、
\begin{align*} \sum_{k=1}^{n}\boldsymbol{v}_{k}\left(\boldsymbol{y}^{*}\right)\boldsymbol{v}_{k} & =\sum_{k=1}^{n}\boldsymbol{v}_{k}\left(\sum_{j=1}^{n}y_{j}\boldsymbol{v}^{j}\right)\boldsymbol{v}^{k}\\ & =\sum_{k=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}y_{j}\boldsymbol{v}_{k}\left(\boldsymbol{v}^{j}\right)\boldsymbol{v}^{k}\\ & =\sum_{k=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}y_{j}\delta_{k}^{j}\boldsymbol{v}^{k}\\ & =\sum_{k=1}^{n}y_{k}\boldsymbol{v}^{k}\\ & =\boldsymbol{y}^{*} \end{align*} となる。
従って題意は成り立つ。