双対空間の定義と性質

by nomura · 2026年4月9日

双対空間・2重双対空間の定義と性質

双対空間・2重双対空間の定義

(1)双対(そうつい)空間

体\(K\)上のベクトル空間\(\left(V,+,\cdot\right)\)から\(K\)への線形写像\(\phi:V\rightarrow K\)全体のなす集合\(V^{*}=\hom_{K}\left(V,K\right)\)を双対空間といい、\(V^{*}\)の元をコベクトルや共変ベクトルや線形汎関数といい、成分を共変成分という。
また、\(V\)の元はベクトルや反変ベクトルといい、成分を反変成分という。
\(\phi,\psi\in V^{*},c\in K\)として任意の\(\boldsymbol{x}\in V\)に対し\(\left(\phi+\psi\right)\left(\boldsymbol{x}\right)=\phi\left(\boldsymbol{x}\right)+\psi\left(\boldsymbol{x}\right),\left(c\phi\right)\left(\boldsymbol{x}\right)=c\phi\left(\boldsymbol{x}\right)\)と定めると\(V^{*}\)は体\(K\)上のベクトル空間\(\left(V^{*},+,\cdot\right)\)となる。
この\(V^{*}\)を\(V\)の双対ベクトル空間・双対空間という。

(2)2重双対空間

\(K\)上のベクトル空間\(V\)の双対空間\(V^{*}=\hom_{K}\left(V,K\right)\)の双対空間\(V^{**}=\left(V^{*}\right)^{*}=\hom_{K}\left(V^{*},K\right)=\hom_{K}\left(\hom_{K}\left(V,K\right),K\right)\)を\(V\)の2重双対空間という。

双対空間・2重双対空間の性質

(1)

\(V\)が有限次元のときには、ベクトル空間の次元と双対空間の次元には
\[ \dim V=\dim V^{*}=n \] の関係がある。

双対空間\(V^{}\)は体\(K\)上のベクトル空間\(\left(V^{},+,\cdot\right)\)となることの証明

\(\hom_{K}\left(V,K\right)\)は体\(K\)上のベクトル空間なので、\(V^{*}=\hom_{K}\left(V,K\right)\)も体\(K\)上のベクトル空間となる。

(1)

ベクトル空間\(V\)の次元が\(\dim V=n\)とする。
\(n=0\)のときは、\(V=\left\{ \boldsymbol{0}_{V}\right\} \)であり、\(V\)から\(K\)への写像は零写像のみなので\(V^{*}=\left\{ \boldsymbol{0}_{V^{*}}\right\} \)となるので\(\dim V=0=\dim V^{*}\)となる。
\(n\in\mathbb{N}\)のときは、\(V\)の基底は\(\left(\boldsymbol{v}_{k}\right)_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\)で表され、このとき双対空間\(V^{*}\)の双対基底は\(\left(\boldsymbol{v}^{k}\right)_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\)で表されるので、
\[ \dim\left(V\right)=n=\dim\left(V^{*}\right) \] となる。
従って、\(V\)が有限次元のとき、\(\dim\left(V\right)=\dim\left(V^{*}\right)\)となる。
故に題意は成り立つ。