双対空間の定義と性質

by nomura · 2026年4月9日

双対空間・2重双対空間の定義と性質

双対空間・2重双対空間の定義

(1)双対(そうつい)空間

体$K$上のベクトル空間$\left(V,+,\cdot\right)$から$K$への線形写像$\phi:V\rightarrow K$全体のなす集合$V^{*}=\hom_{K}\left(V,K\right)$を双対空間といい、$V^{*}$の元をコベクトルや共変ベクトルや線形汎関数といい、成分を共変成分という。
また、$V$の元はベクトルや反変ベクトルといい、成分を反変成分という。
$\phi,\psi\in V^{*},c\in K$として任意の$\boldsymbol{x}\in V$に対し$\left(\phi+\psi\right)\left(\boldsymbol{x}\right)=\phi\left(\boldsymbol{x}\right)+\psi\left(\boldsymbol{x}\right),\left(c\phi\right)\left(\boldsymbol{x}\right)=c\phi\left(\boldsymbol{x}\right)$と定めると$V^{*}$は体$K$上のベクトル空間$\left(V^{*},+,\cdot\right)$となる。
この$V^{*}$を$V$の双対ベクトル空間・双対空間という。

(2)2重双対空間

$K$上のベクトル空間$V$の双対空間$V^{*}=\hom_{K}\left(V,K\right)$の双対空間$V^{**}=\left(V^{*}\right)^{*}=\hom_{K}\left(V^{*},K\right)=\hom_{K}\left(\hom_{K}\left(V,K\right),K\right)$を$V$の2重双対空間という。

双対空間・2重双対空間の性質

(1)

$V$が有限次元のときには、ベクトル空間の次元と双対空間の次元には
\[ \dim V=\dim V^{*}=n \] の関係がある。

双対空間$V^{}$は体$K$上のベクトル空間$\left(V^{},+,\cdot\right)$となることの証明

$\hom_{K}\left(V,K\right)$は体$K$上のベクトル空間なので、$V^{*}=\hom_{K}\left(V,K\right)$も体$K$上のベクトル空間となる。

(1)

ベクトル空間$V$の次元が$\dim V=n$とする。
$n=0$のときは、$V=\left\{ \boldsymbol{0}_{V}\right\} $であり、$V$から$K$への写像は零写像のみなので$V^{*}=\left\{ \boldsymbol{0}_{V^{*}}\right\} $となるので$\dim V=0=\dim V^{*}$となる。
$n\in\mathbb{N}$のときは、$V$の基底は$\left(\boldsymbol{v}_{k}\right)_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }$で表され、このとき双対空間$V^{*}$の双対基底は$\left(\boldsymbol{v}^{k}\right)_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }$で表されるので、
\[ \dim\left(V\right)=n=\dim\left(V^{*}\right) \] となる。
従って、$V$が有限次元のとき、$\dim\left(V\right)=\dim\left(V^{*}\right)$となる。
故に題意は成り立つ。