円に内接する4角形の余弦

3角形\(DAB\)についての余弦定理より、
\[ \left|BD\right|^{2}=\left|DA\right|^{2}+\left|AB\right|^{2}-2\left|DA\right|\left|AB\right|\cos A \] となり、4角形\(ABCD\)は円に内接しているので\(A+C=\pi\)となるので3角形\(BCD\)についての余弦定理より、
\begin{align*} \left|DB\right|^{2} & =\left|BC\right|^{2}+\left|CD\right|^{2}-2\left|BC\right|\left|CD\right|\cos C\\ & =\left|BC\right|^{2}+\left|CD\right|^{2}-2\left|BC\right|\left|CD\right|\cos\left(\pi-A\right)\cmt{\because A+C=\pi}\\ & =\left|BC\right|^{2}+\left|CD\right|^{2}+2\left|BC\right|\left|CD\right|\cos A \end{align*} となる。
これより、
\[ \left|DA\right|^{2}+\left|AB\right|^{2}-2\left|DA\right|\left|AB\right|\cos A=\left|BC\right|^{2}+\left|CD\right|^{2}+2\left|BC\right|\left|CD\right|\cos C \] となるので移項をすると、
\begin{align*} \left|DA\right|^{2}+\left|AB\right|^{2}-\left|BC\right|^{2}-\left|CD\right|^{2} & =2\left|DA\right|\left|AB\right|\cos A+2\left|BC\right|\left|CD\right|\cos C\\ & =2\cos A\left(\left|DA\right|\left|AB\right|+\left|BC\right|\left|CD\right|\right) \end{align*} となるので、
\[ \cos A=\frac{\left|DA\right|^{2}+\left|AB\right|^{2}-\left|BC\right|^{2}-\left|CD\right|^{2}}{2\left(\left|DA\right|\left|AB\right|+\left|BC\right|\left|CD\right|\right)} \] となる。
従って題意は成り立つ。