円に内接する4角形の余弦
円に内接する4角形の余弦
円に内接する4角形\(ABCD\)があるとき、余弦\(\cos A\)は
\[ \cos A=\frac{\left|DA\right|^{2}+\left|AB\right|^{2}-\left|BC\right|^{2}-\left|CD\right|^{2}}{2\left(\left|DA\right|\left|AB\right|+\left|BC\right|\left|CD\right|\right)} \] となる。
円に内接する4角形\(ABCD\)があるとき、余弦\(\cos A\)は
\[ \cos A=\frac{\left|DA\right|^{2}+\left|AB\right|^{2}-\left|BC\right|^{2}-\left|CD\right|^{2}}{2\left(\left|DA\right|\left|AB\right|+\left|BC\right|\left|CD\right|\right)} \] となる。
3角形\(DAB\)についての余弦定理より、
\[ \left|BD\right|^{2}=\left|DA\right|^{2}+\left|AB\right|^{2}-2\left|DA\right|\left|AB\right|\cos A \] となり、4角形\(ABCD\)は円に内接しているので\(A+C=\pi\)となるので3角形\(BCD\)についての余弦定理より、
\begin{align*} \left|DB\right|^{2} & =\left|BC\right|^{2}+\left|CD\right|^{2}-2\left|BC\right|\left|CD\right|\cos C\\ & =\left|BC\right|^{2}+\left|CD\right|^{2}-2\left|BC\right|\left|CD\right|\cos\left(\pi-A\right)\cmt{\because A+C=\pi}\\ & =\left|BC\right|^{2}+\left|CD\right|^{2}+2\left|BC\right|\left|CD\right|\cos A \end{align*} となる。
これより、
\[ \left|DA\right|^{2}+\left|AB\right|^{2}-2\left|DA\right|\left|AB\right|\cos A=\left|BC\right|^{2}+\left|CD\right|^{2}+2\left|BC\right|\left|CD\right|\cos C \] となるので移項をすると、
\begin{align*} \left|DA\right|^{2}+\left|AB\right|^{2}-\left|BC\right|^{2}-\left|CD\right|^{2} & =2\left|DA\right|\left|AB\right|\cos A+2\left|BC\right|\left|CD\right|\cos C\\ & =2\cos A\left(\left|DA\right|\left|AB\right|+\left|BC\right|\left|CD\right|\right) \end{align*} となるので、
\[ \cos A=\frac{\left|DA\right|^{2}+\left|AB\right|^{2}-\left|BC\right|^{2}-\left|CD\right|^{2}}{2\left(\left|DA\right|\left|AB\right|+\left|BC\right|\left|CD\right|\right)} \] となる。
従って題意は成り立つ。
\[ \left|BD\right|^{2}=\left|DA\right|^{2}+\left|AB\right|^{2}-2\left|DA\right|\left|AB\right|\cos A \] となり、4角形\(ABCD\)は円に内接しているので\(A+C=\pi\)となるので3角形\(BCD\)についての余弦定理より、
\begin{align*} \left|DB\right|^{2} & =\left|BC\right|^{2}+\left|CD\right|^{2}-2\left|BC\right|\left|CD\right|\cos C\\ & =\left|BC\right|^{2}+\left|CD\right|^{2}-2\left|BC\right|\left|CD\right|\cos\left(\pi-A\right)\cmt{\because A+C=\pi}\\ & =\left|BC\right|^{2}+\left|CD\right|^{2}+2\left|BC\right|\left|CD\right|\cos A \end{align*} となる。
これより、
\[ \left|DA\right|^{2}+\left|AB\right|^{2}-2\left|DA\right|\left|AB\right|\cos A=\left|BC\right|^{2}+\left|CD\right|^{2}+2\left|BC\right|\left|CD\right|\cos C \] となるので移項をすると、
\begin{align*} \left|DA\right|^{2}+\left|AB\right|^{2}-\left|BC\right|^{2}-\left|CD\right|^{2} & =2\left|DA\right|\left|AB\right|\cos A+2\left|BC\right|\left|CD\right|\cos C\\ & =2\cos A\left(\left|DA\right|\left|AB\right|+\left|BC\right|\left|CD\right|\right) \end{align*} となるので、
\[ \cos A=\frac{\left|DA\right|^{2}+\left|AB\right|^{2}-\left|BC\right|^{2}-\left|CD\right|^{2}}{2\left(\left|DA\right|\left|AB\right|+\left|BC\right|\left|CD\right|\right)} \] となる。
従って題意は成り立つ。
ページ情報
| タイトル | 円に内接する4角形の余弦 |
| URL | https://www.nomuramath.com/o4fg19q9/ |
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正n角形の面積
\[
S=\frac{na^{2}}{4\tan\frac{\pi}{n}}
\]
点と超平面・直線の距離
\[
d=\frac{\left|\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{OP}+a\right|}{\left|\boldsymbol{n}\right|}
\]
外接円を持つ4角形の角度と対角線の長さ
\[
p=\sqrt{\frac{cd\left(a^{2}+b^{2}\right)+ab\left(c^{2}+d^{2}\right)}{ab+cd}}
\]
接弦定理
\[
\angle BAP=\angle BCA
\]