(1)

\(K\)上のベクトル空間\(V\)があるとき、\(V\simeq V\)であり、同型写像\(f:V\rightarrow V,\boldsymbol{x}\mapsto\boldsymbol{x}\)は基底の取り方に依存しないので、絶対的同型となる。

(2)

\(K\)上のベクトル空間\(V\)があるとき、\(V\simeq V^{**}\)であり、写像を\(\mu=\widehat{\bullet}:V\rightarrow V^{**},\boldsymbol{x}\mapsto\mu\left(\boldsymbol{x}\right)=\widehat{\boldsymbol{x}}\)として、\(\widehat{\boldsymbol{x}}:V^{*}\rightarrow K,\phi\mapsto\widehat{\boldsymbol{x}}\left(\phi\right)=\phi\left(\boldsymbol{x}\right)\)と定めると\(\mu\)は同型写像となり、このとき、基底の取り方に依存しないので、絶対的同型となる。

(3)

\(\mathbb{R}\)上のベクトル空間\(V=\mathbb{R}^{2}\)について、\(V\simeq V^{*}\)であるが、同型写像\(f:V\rightarrow V^{*},x^{1}\boldsymbol{e}_{1}+x^{2}\boldsymbol{e}_{2}\mapsto x_{1}\boldsymbol{e}^{1}+x_{2}\boldsymbol{e}^{2}\)は基底を\(\boldsymbol{e}_{1}=\left(1,0\right)^{T},e_{2}=\left(0,1\right)^{T}\)とすると、双対基底は\(\boldsymbol{e}^{1}=\left(1,0\right),\boldsymbol{e}^{2}=\left(0,1\right)\)となり、\(f\left(1,2\right)=f\left(\boldsymbol{e}_{1}+2\boldsymbol{e}_{2}\right)=\boldsymbol{e}^{1}+2\boldsymbol{e}^{2}=\left(1,2\right)\)となる。
しかし、基底を\(\boldsymbol{e}_{1}=\left(1,0\right)^{T},\boldsymbol{e}_{2}=\left(1,1\right)^{T}\)とすると、双対基底は\(\boldsymbol{e}^{1}=\left(1,-1\right),\boldsymbol{e}^{2}=\left(0,1\right)\)となり、\(f\left(1,2\right)=f\left(\boldsymbol{e}_{1}+2\boldsymbol{e}_{2}\right)=\boldsymbol{e}^{1}+2\boldsymbol{e}^{2}=\left(1,1\right)\)となる。
その他の同型写像についても基底の取り方による。
これより、任意の同型写像が基底の取り方に依存するので、相対的同型となる。