フロベニウス内積の定義

by nomura · 2026年7月3日

フロベニウス内積の定義
\(K\)上の\(m\times n\)行列\(M_{m\times n}\left(K\right)\)があるとき、\(A,B\in M\)に対し、
\begin{align*} \left\langle A,B\right\rangle & :=\tr\left(A^{*}B\right)\\ & =\sum_{i,j}\overline{\left(A\right)_{ij}}\left(B\right)_{ij} \end{align*} と定めるとフロベニウス内積\(\left(M_{m\times n}\left(K\right),\left\langle \bullet,\bullet\right\rangle \right)\)は内積空間となり、これをフロベニウス内積という。
また、
\[ \left\Vert A\right\Vert =\sqrt{\left\langle A,A\right\rangle } \] をフロベニウスノルムという。

フロベニウス内積のことをヒルベルト・シュミット内積ともいいます。

-

フロベニウス内積は正方行列でなくても求まります。

(1)

普通のベクトルと角度との関係は
\[ \cos\theta=\frac{\left\langle A,B\right\rangle }{\left\Vert A\right\Vert \left\Vert B\right\Vert } \] なので、フロベニウス内積を使って角度を求めてみる。
\(a,b\in\mathbb{R}\)として回転行列
\[ A_{a}=\left(\begin{array}{cc} \cos a & -\sin a\\ \sin a & \cos a \end{array}\right) \] \[ A_{b}=\left(\begin{array}{cc} \cos b & -\sin b\\ \sin b & \cos b \end{array}\right) \] のなす角は、
\begin{align*} \cos\theta & =\frac{\left\langle A_{a},A_{b}\right\rangle }{\left\Vert A_{a}\right\Vert \left\Vert A_{b}\right\Vert }\\ & =\frac{\left\langle \left(\begin{array}{cc} \cos a & -\sin a\\ \sin a & \cos a \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc} \cos b & -\sin b\\ \sin b & \cos b \end{array}\right)\right\rangle }{\left\Vert \left(\begin{array}{cc} \cos a & -\sin a\\ \sin a & \cos a \end{array}\right)\right\Vert \left\Vert \left(\begin{array}{cc} \cos b & -\sin b\\ \sin b & \cos b \end{array}\right)\right\Vert }\\ & =\frac{\cos a\cos b+\sin a\sin b+\sin a\sin b+\cos a\cos b}{\sqrt{\cos a\cos a+\sin a\sin a+\sin a\sin a+\cos a\cos a}\sqrt{\cos b\cos b+\sin b\sin b+\sin b\sin b+\cos b\cos b}}\\ & =\frac{\cos a\cos b+\sin a\sin b}{\sqrt{\cos^{2}a+\sin^{2}a}\sqrt{\cos^{2}b+\sin b}}\\ & =\cos\left(a-b\right)\\ & =\cos\left(b-a\right) \end{align*} となる。

(2)

\begin{align*} \left\langle \left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & i\\ i & 2 & 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc} i & 1 & 1\\ 2 & 2 & i \end{array}\right)\right\rangle & =\tr\left(\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & i\\ i & 2 & 1 \end{array}\right)^{*}\left(\begin{array}{ccc} i & 1 & 1\\ 2 & 2 & i \end{array}\right)\right)\\ & =\tr\left(\left(\begin{array}{cc} 1 & -i\\ 2 & 2\\ -i & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} i & 1 & 1\\ 2 & 2 & i \end{array}\right)\right)\\ & =\tr\left(\begin{array}{ccc} -i & 1-2i & 2\\ 4+2i & 6 & 2+2i\\ 3 & 2-i & 0 \end{array}\right)\\ & =6-i \end{align*}

内積空間となることの証明
\(A,B,C\in M_{m\times n}\left(\mathbb{C}\right),\alpha,\beta\in\mathbb{C}\)とする。

半正定値性

\begin{align*} \left\langle A,A\right\rangle & =\tr\left(A^{*}B\right)\\ & =\sum_{i,j}\overline{\left(A\right)_{ij}}\left(A\right)_{ij}\\ & =\sum_{i,j}\left|\left(A\right)_{ij}\right|^{2}\\ & \geq0 \end{align*} となるので、半正定値性を満たす。

非退化性

\(A\)を\(m\times n\)行列とする。
\begin{align*} \left\langle A,A\right\rangle & =\tr\left(A^{*}B\right)\\ & =\sum_{i,j}\overline{\left(A\right)_{ij}}\left(A\right)_{ij}\\ & =\sum_{i,j}\left|\left(A\right)_{ij}\right|^{2} \end{align*} となるので、\(\left\langle A,A\right\rangle =0\)ならば任意の\(i\in\left\{ 1,2,\cdots,m\right\} ,j\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} \)に対し、\(\left(A\right)_{ij}=0\)となるので、\(A=O\)となる。
故に\(\left\langle A,A\right\rangle =0\Rightarrow A=O\)となるので非退化性が成り立つ。

エルミート対称性

\begin{align*} \left\langle B,A\right\rangle & =\tr\left(B^{*}A\right)\\ & =\tr\left(\left(B^{*}A\right)^{T}\right)\\ & =\tr\left(A^{T}\overline{B}\right)\\ & =\overline{\tr\left(A^{*}B\right)}\\ & =\overline{\left\langle A,B\right\rangle } \end{align*} となるのでエルミート対称性を満たす。

半線形性

\begin{align*} \left\langle \alpha A+\beta B,C\right\rangle & =\tr\left(\left(\alpha A+\beta B\right)^{*}C\right)\\ & =\tr\left(\left(\overline{\alpha}A^{*}+\overline{\beta}B^{*}\right)C\right)\\ & =\tr\left(\overline{\alpha}A^{*}C+\overline{\beta}B^{*}C\right)\\ & =\overline{\alpha}\tr\left(A^{*}C\right)+\overline{\beta}\tr\left(B^{*}C\right)\\ & =\overline{\alpha}\tr\left\langle A,C\right\rangle +\overline{\beta}\tr\left\langle B,C\right\rangle \end{align*} となるので半線形性を満たす。