(1)

\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in\widetilde{W}\left(\lambda_{k}\right),c\in K\)とする。
このとき、
\[ \left(\lambda_{k}I-A\right)^{n_{k}}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0} \] \[ \left(\lambda_{k}I-A\right)^{n_{k}}\boldsymbol{y}=\boldsymbol{0} \] となるので、
\begin{align*} \left(\lambda_{k}I-A\right)^{n_{k}}\left(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right) & =\left(\lambda_{k}I-A\right)^{n_{k}}\boldsymbol{x}+\left(\lambda_{k}I-A\right)^{n_{k}}\boldsymbol{y}\\ & =\boldsymbol{0} \end{align*} \begin{align*} \left(\lambda_{k}I-A\right)^{n_{k}}\left(c\boldsymbol{x}\right) & =c\left(\lambda_{k}I-A\right)^{n_{k}}\boldsymbol{x}\\ & =\boldsymbol{0} \end{align*} となり、\(\left(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right),c\boldsymbol{x}\in\widetilde{W}\left(\lambda_{k}\right)\)となる。
従って、\(\widetilde{W}\left(\lambda_{k}\right)\)は\(K^{n}\)の部分空間となる。

(2)

固有値を\(\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots\)として固有値\(\lambda_{1}\)は\(n_{1}\)重解であるとする。
任意の行列はユニタリ行列により上3角化が可能で上3角化は対角成分が固有値なので、左上に固有値\(\lambda_{1}\)がくるように\(U^{-1}AU\)を上3角行列にとる。
このとき、
\begin{align*} \dim\ker\left(\left(\lambda_{1}I-A\right)^{n_{1}}\right) & =\dim\ker\left(U\left(U^{-1}\left(\lambda_{1}I-A\right)U\right)^{n_{1}}U^{-1}\right)\\ & =\dim\ker\left(U\left(\left(\lambda_{1}I-U^{-1}AU\right)\right)^{n_{1}}U^{-1}\right)\\ & =\dim\ker\left(\left(\lambda_{1}I-U^{-1}AU\right)^{n_{1}}\right)\cmt{\because\text{ユニタリ行列は正則なので核は変わるが核の次元は変わらない}}\\ & =\dim\ker\left(\left(\lambda_{1}I-\left(\begin{array}{cccccc} \lambda_{1} & * & * & \cdots & \cdots & *\\ 0 & \ddots & * & \cdots & \cdots & \vdots\\ 0 & 0 & \lambda_{1} & * & \cdots & \vdots\\ & & & \lambda_{2} & \ddots & \vdots\\ & & & & \lambda_{3} & \ddots\\ 0 & & & & & \ddots \end{array}\right)\right)^{n_{1}}\right)\\ & =\dim\ker\left(\left(\begin{array}{cccccc} 0 & * & * & \cdots & \cdots & *\\ 0 & \ddots & * & \cdots & \cdots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & * & \cdots & \vdots\\ & & & \lambda_{1}-\lambda_{2} & \ddots & \vdots\\ & & & & \lambda_{1}-\lambda_{3} & \ddots\\ 0 & & & & & \ddots \end{array}\right)^{n_{1}}\right)\\ & =\dim\ker\left(\left(\begin{array}{cccccc} 0 & 0 & * & \cdots & \cdots & *\\ 0 & \ddots & 0 & \cdots & \cdots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & * & \cdots & \vdots\\ & & & \left(\lambda_{1}-\lambda_{2}\right)^{2} & \ddots & \vdots\\ & & & & \left(\lambda_{1}-\lambda_{3}\right)^{2} & \ddots\\ 0 & & & & & \ddots \end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccc} 0 & * & * & \cdots & \cdots & *\\ 0 & \ddots & * & \cdots & \cdots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & * & \cdots & \vdots\\ & & & \lambda_{1}-\lambda_{2} & \ddots & \vdots\\ & & & & \lambda_{1}-\lambda_{3} & \ddots\\ 0 & & & & & \ddots \end{array}\right)^{n_{1}-2}\right)\\ & =\dim\ker\left(\begin{array}{cccccc} 0 & 0 & 0 & \cdots & \cdots & *\\ 0 & \ddots & 0 & \cdots & \cdots & \vdots\\ 0 & \cdots & 0 & * & \cdots & \vdots\\ 0 & \cdots & 0 & \left(\lambda_{1}-\lambda_{2}\right)^{n_{1}} & \ddots & \vdots\\ \vdots & \ddots & \vdots & & \left(\lambda_{1}-\lambda_{3}\right)^{n_{1}} & \ddots\\ 0 & \cdots & 0 & & & \ddots \end{array}\right)\\ & =n_{1} \end{align*} となる。
最後は左の\(n_{1}\)列が全て0なのでカーネルの次元は\(n_{1}\)になっている。
他の固有値についても同様に
\[ \dim\ker\left(\left(\lambda_{k}I-A\right)^{n_{k}}\right)=n_{k} \] となる。
故に題意は成り立つ。

(3)

\(\boldsymbol{x}\in\widetilde{W}\left(\lambda_{k}\right)\)のとき、\(\left(\lambda_{k}I-A\right)^{n_{k}}A\boldsymbol{x}=A\left(\lambda_{k}I-A\right)^{n_{k}}\boldsymbol{x}=A\boldsymbol{0}=\boldsymbol{0}\)となるので、\(A\boldsymbol{x}\in\widetilde{W}\left(\lambda_{k}\right)\)となる。
従って題意な成り立つ。

(4)

任意に\(\boldsymbol{u}_{k}\in\widetilde{W}\left(\lambda_{k}\right)\)をとる。
\(\left(\alpha I-A\right)^{m}\boldsymbol{u}_{k}\)が固有値\(\lambda_{k}\)の広義固有ベクトルになるので、
\[ \left(\alpha I-A\right)^{m}\boldsymbol{u}_{k}\ne\boldsymbol{0} \] \[ \left(\lambda_{k}I-A\right)^{n_{k}}\left(\alpha I-A\right)^{m}\boldsymbol{u}_{k}=\boldsymbol{0} \] を満たさなければいけない。
\begin{align*} \left(\lambda_{k}I-A\right)^{n_{k}}\left(\alpha I-A\right)^{m}\boldsymbol{u}_{k} & =\left(\alpha I-A\right)^{m}\left(\lambda_{k}I-A\right)^{n_{k}}\boldsymbol{u}_{k}\\ & =\left(\alpha I-A\right)^{m}\boldsymbol{0}\\ & =\boldsymbol{0} \end{align*} となる。
次に\(\left(\alpha I-A\right)^{m}\boldsymbol{u}_{k}\ne\boldsymbol{0}\)を示す。
\(\left(\alpha I-A\right)^{m}\boldsymbol{u}_{k}=\boldsymbol{0}\)と仮定する。
このとき、\(\left(\lambda_{k}I-A\right)^{n_{k}}\boldsymbol{u}_{k}=\boldsymbol{0}\)でもあるので、
\begin{align*} \left(\alpha I-A-\left(\lambda_{k}I-A\right)\right)^{n_{k}+m-1-j}\boldsymbol{u}_{k} & =\sum_{j=0}^{n_{k}+m-1-j}C\left(n_{k}+m-1,j\right)\left(\alpha I-A\right)^{j}\left(-1\right)^{n_{k}+m-1-j}\left(\lambda_{k}I-A\right)^{n_{k}+m-1-j}\boldsymbol{u}_{k}\\ & =\left(\sum_{j=0}^{m-1}+\sum_{j=m}^{n_{k}+m-1-j}\right)\left(-1\right)^{n_{k}+m-1-j}C\left(n_{k}+m-1,j\right)\left(\alpha I-A\right)^{j}\left(\lambda_{k}I-A\right)^{n_{k}+m-1-j}\boldsymbol{u}_{k}\\ & =\sum_{j=0}^{m-1}\left(-1\right)^{n_{k}+m-1-j}C\left(n_{k}+m-1,j\right)\left(\alpha I-A\right)^{j}\left(\lambda_{k}I-A\right)^{n_{k}+m-1-j}\boldsymbol{u}_{k}+\sum_{j=m}^{n_{k}+m-1-j}\left(-1\right)^{n_{k}+m-1-j}C\left(n_{k}+m-1,j\right)\left(\lambda_{k}I-A\right)^{n_{k}+m-1-j}\left(\alpha I-A\right)^{j}\boldsymbol{u}_{k}\\ & =\sum_{j=0}^{m-1}\left(-1\right)^{n_{k}+j}C\left(n_{k}+m-1,m-1-j\right)\left(\alpha I-A\right)^{m-1-j}\left(\lambda_{k}I-A\right)^{n_{k}+j}\boldsymbol{u}_{k}+\sum_{j=0}^{n_{k}-1-j}\left(-1\right)^{n_{k}-1-j}C\left(n_{k}+m-1,m+j\right)\left(\lambda_{k}I-A\right)^{n_{k}-1-j}\left(\alpha I-A\right)^{m+j}\boldsymbol{u}_{k}\\ & =\boldsymbol{0} \end{align*} また、
\begin{align*} \left(\alpha I-A-\left(\lambda_{k}I-A\right)\right)^{n_{k}+m-1-j}\boldsymbol{u}_{k} & =\left(\alpha-\lambda_{k}\right)^{n_{k}+m-1-j}\boldsymbol{u}_{k} \end{align*} であるので、
\[ \left(\alpha-\lambda_{k}\right)^{n_{k}+m-1-j}\boldsymbol{u}_{k}=\boldsymbol{0} \] となるが、\(\alpha\ne\lambda_{k},\boldsymbol{u}_{k}\ne\boldsymbol{0}\)なので矛盾。
従って背理法より、\(\left(\alpha I-A\right)^{m}\boldsymbol{u}_{k}\ne0\)となる。
これらより、\(\left(\alpha I-A\right)^{m}\boldsymbol{u}_{k}\)は固有値\(\lambda_{k}\)の広義固有ベクトルになる。

(5)

\(m=1\)のとき明らかに成り立つ。
\(m=k\)のとき成り立つと仮定する。
\(m=k+1\)のときは、
\[ \sum_{j=1}^{k+1}c_{j}\boldsymbol{u}_{j}=\boldsymbol{0} \] を満たす\(c_{j}\)は\(c_{1}=c_{2}=\cdots=c_{k+1}=0\)のみであることを示す。
両辺に\(\left(\lambda_{k+1}I-A\right)^{n_{k+1}}\)を左から掛けると、\(\boldsymbol{u}_{j}\)の固有値は\(\lambda_{j}\)であり、\(j\ne k+1\rightarrow\lambda_{j}\ne\lambda_{k+1}\)なので、
\begin{align*} \boldsymbol{0} & =\left(\lambda_{k+1}I-A\right)^{n_{k+1}}\sum_{j=1}^{k+1}c_{j}\boldsymbol{u}_{j}\\ & =\sum_{j=1}^{k}c_{j}\left(\lambda_{k+1}I-A\right)^{n_{k+1}}\boldsymbol{u}_{j}+c_{k+1}\left(\lambda_{k+1}I-A\right)^{n_{k+1}}\boldsymbol{u}_{k+1}\\ & =\sum_{j=1}^{k}c_{j}\left(\lambda_{k+1}I-A\right)^{n_{k+1}}\boldsymbol{u}_{j}\\ & =\sum_{j=1}^{k}c_{j}\boldsymbol{u}'_{j}\cmt{\boldsymbol{u}'_{j}=\left(\lambda_{k+1}I-A\right)^{n_{k+1}}\boldsymbol{u}_{j},\boldsymbol{u}'_{j}\in W\left(\lambda_{j}\right)} \end{align*} となる。
ここで、\(\boldsymbol{u}'_{j}\in\widetilde{W}\left(\lambda_{j}\right)\)で、\(m=k\)のとき成り立つと仮定しているので、
\[ \boldsymbol{0}=\sum_{j=1}^{k}c_{j}\boldsymbol{u}'_{j} \] が成り立つのは\(c_{1}=c_{2}=\cdots=c_{k}=0\)のときのみである。
これより、
\begin{align*} \boldsymbol{0} & =\sum_{j=1}^{k+1}c_{j}\boldsymbol{u}_{j}\\ & =c_{k+1}\boldsymbol{u}_{k+1} \end{align*} となり、\(\boldsymbol{u}_{k+1}\ne\boldsymbol{0}\)なので\(c_{k+1}=0\)となる。
従って、\(m=k+1\)のとき、
\[ \sum_{j=1}^{k+1}c_{j}\boldsymbol{u}_{j}=\boldsymbol{0} \] を満たす\(c_{j}\)は\(c_{1}=c_{2}=\cdots=c_{k+1}=0\)のみである。
故に数学的帰納法より、題意は成り立つ。

(6)

\(m\)階の広義固有ベクトル\(\boldsymbol{p}_{m}\)は
\[ \begin{cases} \left(\lambda_{k}I-A\right)^{m}\boldsymbol{p}_{m}=\boldsymbol{0}\\ \left(\lambda_{k}I-A\right)^{m-1}\boldsymbol{p}_{m}\ne\boldsymbol{0} \end{cases} \] を満たすので、
\[ \begin{cases} \left(\lambda_{k}I-A\right)^{m-n}\left\{ \left(\lambda_{k}I-A\right)^{n}\boldsymbol{p}_{m}\right\} =\boldsymbol{0}\\ \left(\lambda_{k}I-A\right)^{m-n-1}\left\{ \left(\lambda_{k}I-A\right)^{n}\boldsymbol{p}_{m}\right\} \ne\boldsymbol{0} \end{cases} \] となる。
これより、\(\left(\lambda_{k}I-A\right)^{n}\boldsymbol{p}_{m}\)は\(m-n\)階の広義固有ベクトルになる。