(1)

存在

\(d\left(\boldsymbol{x}-A\right)\)は\(\inf_{a\in A}\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}\right\Vert \)なので、ある点列\(\left(\boldsymbol{y}_{k}\right)_{k\in\mathbb{N}}\subseteq A\)が存在し、\(\lim_{k\rightarrow\infty}\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}_{k}\right\Vert =\inf_{a\in A}\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}\right\Vert \)を満たすので、中線定理より、
\begin{align*} \left\Vert \boldsymbol{y}_{m}-\boldsymbol{y}_{n}\right\Vert ^{2} & =\left\Vert \left(\boldsymbol{y}_{m}-\boldsymbol{x}\right)-\left(\boldsymbol{y}_{n}-\boldsymbol{x}\right)\right\Vert ^{2}\\ & =-\left\Vert \left(\boldsymbol{y}_{m}-\boldsymbol{x}\right)+\left(\boldsymbol{y}_{n}-\boldsymbol{x}\right)\right\Vert ^{2}+2\left(\left\Vert \boldsymbol{y}_{m}-\boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}+\left\Vert \boldsymbol{y}_{n}-\boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}\right)\\ & =-\left\Vert \boldsymbol{y}_{m}+\boldsymbol{y}_{n}-2\boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}+2\left(\left\Vert \boldsymbol{y}_{m}-\boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}+\left\Vert \boldsymbol{y}_{n}-\boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}\right)\\ & =-4\left\Vert \frac{\boldsymbol{y}_{m}+\boldsymbol{y}_{n}}{2}-\boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}+2\left(\left\Vert \boldsymbol{y}_{m}-\boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}+\left\Vert \boldsymbol{y}_{n}-\boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}\right) \end{align*} となる。
このとき、\(\boldsymbol{y}_{m},\boldsymbol{y}_{n}\in A\)で\(A\)は閉凸集合なので、\(\frac{\boldsymbol{y}_{m}+\boldsymbol{y}_{n}}{2}\in A\)となり、\(d\left(\boldsymbol{x},A\right)\leq\left\Vert \boldsymbol{x}-\frac{\boldsymbol{y}_{m}+\boldsymbol{y}_{n}}{2}\right\Vert \)より、
\begin{align*} \lim_{m,n\rightarrow\infty}\left\Vert \boldsymbol{y}_{m}-\boldsymbol{y}_{n}\right\Vert ^{2} & =\lim_{m,n\rightarrow\infty}\left(-4\left\Vert \frac{\boldsymbol{y}_{m}+\boldsymbol{y}_{n}}{2}-\boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}+2\left(\left\Vert \boldsymbol{y}_{m}-\boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}+\left\Vert \boldsymbol{y}_{n}-\boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}\right)\right)\\ & \leq-4d^{2}\left(\boldsymbol{x},A\right)+2\left(d^{2}\left(\boldsymbol{x},A\right)+d^{2}\left(\boldsymbol{x},A\right)\right)\\ & =-4d^{2}\left(\boldsymbol{x},A\right)+4d^{2}\left(\boldsymbol{x},A\right)\\ & =0 \end{align*} となり、\(\lim_{m,n\rightarrow\infty}\left\Vert \boldsymbol{y}_{m}-\boldsymbol{y}_{n}\right\Vert =0\)となるので、\(\left(\boldsymbol{y}_{k}\right)_{k\in\mathbb{N}}\)はコーシー列となり、\(A\)は閉集合なので\(P_{A}\left(\boldsymbol{x}\right)=\lim_{k\rightarrow\infty}\boldsymbol{y}_{k}\in A\)とおくと、
\begin{align*} d\left(\boldsymbol{x},A\right) & \leq\left\Vert \boldsymbol{x}-P_{A}\left(\boldsymbol{x}\right)\right\Vert \\ & \leq\lim_{k\rightarrow\infty}\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}_{k}+\boldsymbol{y}_{k}-P_{A}\left(\boldsymbol{x}\right)\right\Vert \\ & =\lim_{k\rightarrow\infty}\left(\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}_{k}\right\Vert +\left\Vert \boldsymbol{y}_{k}-P_{A}\left(\boldsymbol{x}\right)\right\Vert \right)\\ & =d\left(\boldsymbol{x},A\right) \end{align*} となり、\(d\left(\boldsymbol{x},A\right)=\left\Vert \boldsymbol{x}-P_{A}\left(\boldsymbol{x}\right)\right\Vert \)となる。

一意性

2点\(P_{A}\left(\boldsymbol{x}\right),P_{A}'\left(\boldsymbol{x}\right)\in A,P_{A}\left(\boldsymbol{x}\right)\ne P_{A}'\left(\boldsymbol{x}\right)\)で\(\left\Vert \boldsymbol{x}-P_{A}\left(\boldsymbol{x}\right)\right\Vert =d\left(\boldsymbol{x},A\right)=\left\Vert \boldsymbol{x}-P_{A}'\left(\boldsymbol{x}\right)\right\Vert \)を満たすとする。
このとき、中線定理より、
\[ \left\Vert \left(\boldsymbol{x}-P_{A}\left(\boldsymbol{x}\right)\right)+\left(\boldsymbol{x}-P_{A}'\left(\boldsymbol{x}\right)\right)\right\Vert ^{2}+\left\Vert \left(\boldsymbol{x}-P_{A}\left(\boldsymbol{x}\right)\right)-\left(\boldsymbol{x}-P_{A}'\left(\boldsymbol{x}\right)\right)\right\Vert ^{2}=2\left(\left\Vert \boldsymbol{x}-P_{A}\left(\boldsymbol{x}\right)\right\Vert ^{2}+\left\Vert \boldsymbol{x}-P_{A}'\left(\boldsymbol{x}\right)\right\Vert ^{2}\right) \] となり、
\[ 4\left\Vert \boldsymbol{x}-\frac{P_{A}\left(\boldsymbol{x}\right)+P_{A}'\left(\boldsymbol{x}\right)}{2}\right\Vert ^{2}+\left\Vert P_{A}\left(\boldsymbol{x}\right)-P_{A}'\left(\boldsymbol{x}\right)\right\Vert ^{2}=4d^{2}\left(\boldsymbol{x},A\right) \] となる。
また、\(P_{A}\left(\boldsymbol{x}\right),P_{A}'\left(\boldsymbol{x}\right)\in A\)で\(A\)は閉凸集合なので、\(\frac{P_{A}\left(\boldsymbol{x}\right)+P_{A}'\left(\boldsymbol{x}\right)}{2}\in A\)となり、\(d\left(\boldsymbol{x},A\right)\leq\left\Vert \boldsymbol{x}-\frac{P_{A}\left(\boldsymbol{x}\right)+P_{A}'\left(\boldsymbol{x}\right)}{2}\right\Vert \)となる。
これより、
\[ 4d^{2}\left(\boldsymbol{x},A\right)+\left\Vert P_{A}\left(\boldsymbol{x}\right)-P_{A}'\left(\boldsymbol{x}\right)\right\Vert ^{2}\leq4d^{2}\left(\boldsymbol{x},A\right) \] となるので、
\[ \left\Vert P_{A}\left(\boldsymbol{x}\right)-P_{A}'\left(\boldsymbol{x}\right)\right\Vert ^{2}\leq0 \] となるので、\(P_{A}\left(\boldsymbol{x}\right)=P_{A}'\left(\boldsymbol{x}\right)\)となり一意性が示された。

\(\left\langle \boldsymbol{x}-P_{A}\left(\boldsymbol{x}\right),\boldsymbol{y}-P_{A}\left(\boldsymbol{x}\right)\right\rangle \leq0\)

略

\(\left\Vert P_{A}\left(\boldsymbol{x}\right)-P_{A}\left(\boldsymbol{y}\right)\right\Vert \leq\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right\Vert \)

略

(2)

閉部分空間は閉凸集合でもあるので凸射影定理より、ある\(P_{A}\left(\boldsymbol{x}\right)\in A\)が存在し、\(d\left(\boldsymbol{x},A\right)=\left\Vert \boldsymbol{x}-P_{A}\left(\boldsymbol{x}\right)\right\Vert \)を満たす。
任意の\(\boldsymbol{a}\in A\)に対し、\(t\in\mathbb{R}\)して、\(\phi\left(t\right)=\left\Vert \boldsymbol{x}-\left(P_{A}\left(\boldsymbol{x}\right)+t\left\langle \boldsymbol{x}-P_{A}\left(\boldsymbol{x}\right),\boldsymbol{a}\right\rangle \boldsymbol{a}\right)\right\Vert \)とおくと、\(P_{A}\left(\boldsymbol{x}\right)+t\left\langle \boldsymbol{x}-P_{A}\left(\boldsymbol{x}\right),\boldsymbol{a}\right\rangle \boldsymbol{a}\in A\)なので\(d\left(\boldsymbol{x},A\right)\)の最小性より、\(0\leq\phi\left(0\right)=d\left(\boldsymbol{x},A\right)\leq\phi\left(t\right)\)となる。
これより、
\begin{align*} \phi^{2}\left(t\right) & =\left\langle \boldsymbol{x}-\left(P_{A}\left(\boldsymbol{x}\right)+t\left\langle \boldsymbol{x}-P_{A}\left(\boldsymbol{x}\right),\boldsymbol{a}\right\rangle \boldsymbol{a}\right),\boldsymbol{x}-\left(P_{A}\left(\boldsymbol{x}\right)+t\left\langle \boldsymbol{x}-P_{A}\left(\boldsymbol{x}\right),\boldsymbol{a}\right\rangle \boldsymbol{a}\right)\right\rangle \\ & =\left\langle \boldsymbol{x}-P_{A}\left(\boldsymbol{x}\right)-t\left\langle \boldsymbol{x}-P_{A}\left(\boldsymbol{x}\right),\boldsymbol{a}\right\rangle \boldsymbol{a},\boldsymbol{x}-P_{A}\left(\boldsymbol{x}\right)-t\left\langle \boldsymbol{x}-P_{A}\left(\boldsymbol{x}\right),\boldsymbol{a}\right\rangle \boldsymbol{a}\right\rangle \\ & =\left\langle \boldsymbol{x}-P_{A}\left(\boldsymbol{x}\right),\boldsymbol{x}-P_{A}\left(\boldsymbol{x}\right)\right\rangle -\left\langle t\left\langle \boldsymbol{x}-P_{A}\left(\boldsymbol{x}\right),\boldsymbol{a}\right\rangle \boldsymbol{a},\boldsymbol{x}-P_{A}\left(\boldsymbol{x}\right)\right\rangle -\left\langle \boldsymbol{x}-P_{A}\left(\boldsymbol{x}\right),t\left\langle \boldsymbol{x}-P_{A}\left(\boldsymbol{x}\right),\boldsymbol{a}\right\rangle \boldsymbol{a}\right\rangle +\left\langle t\left\langle \boldsymbol{x}-P_{A}\left(\boldsymbol{x}\right),\boldsymbol{a}\right\rangle \boldsymbol{a},t\left\langle \boldsymbol{x}-P_{A}\left(\boldsymbol{x}\right),\boldsymbol{a}\right\rangle \boldsymbol{a}\right\rangle \\ & =d^{2}\left(x,A\right)-\overline{\left\langle \boldsymbol{x}-P_{A}\left(\boldsymbol{x}\right),t\left\langle \boldsymbol{x}-P_{A}\left(\boldsymbol{x}\right),\boldsymbol{a}\right\rangle \boldsymbol{a}\right\rangle }-\left\langle \boldsymbol{x}-P_{A}\left(\boldsymbol{x}\right),t\left\langle \boldsymbol{x}-P_{A}\left(\boldsymbol{x}\right),\boldsymbol{a}\right\rangle \boldsymbol{a}\right\rangle +\left|t\right|^{2}\left|\left\langle \boldsymbol{x}-P_{A}\left(\boldsymbol{x}\right),\boldsymbol{a}\right\rangle \right|^{2}\left\Vert \boldsymbol{a}\right\Vert ^{2}\\ & =d^{2}\left(x,A\right)-2\Re\left(\overline{t\left\langle \boldsymbol{x}-P_{A}\left(\boldsymbol{x}\right),\boldsymbol{a}\right\rangle }\left\langle \boldsymbol{x}-P_{A}\left(\boldsymbol{x}\right),\boldsymbol{a}\right\rangle \right)+\left|t\right|^{2}\left|\left\langle \boldsymbol{x}-P_{A}\left(\boldsymbol{x}\right),\boldsymbol{a}\right\rangle \right|^{2}\left\Vert \boldsymbol{a}\right\Vert ^{2}\\ & =d^{2}\left(x,A\right)-2\left|\left\langle \boldsymbol{x}-P_{A}\left(\boldsymbol{x}\right),\boldsymbol{a}\right\rangle \right|^{2}\Re\left(\overline{t}\right)+\left|t\right|^{2}\left|\left\langle \boldsymbol{x}-P_{A}\left(\boldsymbol{x}\right),\boldsymbol{a}\right\rangle \right|^{2}\left\Vert \boldsymbol{a}\right\Vert ^{2}\\ & =d^{2}\left(x,A\right)-2\left|\left\langle \boldsymbol{x}-P_{A}\left(\boldsymbol{x}\right),\boldsymbol{a}\right\rangle \right|^{2}t+t^{2}\left|\left\langle \boldsymbol{x}-P_{A}\left(\boldsymbol{x}\right),\boldsymbol{a}\right\rangle \right|^{2}\left\Vert \boldsymbol{a}\right\Vert ^{2}\\ & =\left|\left\langle \boldsymbol{x}-P_{A}\left(\boldsymbol{x}\right),\boldsymbol{a}\right\rangle \right|^{2}\left\Vert \boldsymbol{a}\right\Vert ^{2}\left(t-\frac{1}{\left\Vert \boldsymbol{a}\right\Vert ^{2}}\right)^{2}-\frac{\left|\left\langle \boldsymbol{x}-P_{A}\left(\boldsymbol{x}\right),\boldsymbol{a}\right\rangle \right|^{2}}{\left\Vert \boldsymbol{a}\right\Vert ^{2}}+d^{2}\left(x,A\right) \end{align*} となる。
ここで\(\left\langle \boldsymbol{x}-P_{A}\left(\boldsymbol{x}\right),\boldsymbol{a}\right\rangle \ne0\)と仮定すると、\(\phi^{2}\left(t\right)\)の最小値は\(t=\frac{1}{\left\Vert \boldsymbol{a}\right\Vert ^{2}}\)のとき、
\begin{align*} \phi^{2}\left(\frac{1}{\left\Vert \boldsymbol{a}\right\Vert ^{2}}\right) & =-\frac{\left|\left\langle \boldsymbol{x}-P_{A}\left(\boldsymbol{x}\right),\boldsymbol{a}\right\rangle \right|^{2}}{\left\Vert \boldsymbol{a}\right\Vert ^{2}}+d^{2}\left(x,A\right)\\ & <d^{2}\left(x,A\right)\\ & =\phi^{2}\left(0\right) \end{align*} となり、\(0\leq\phi\left(0\right)=d\left(\boldsymbol{x},A\right)\leq\phi\left(t\right)\)に矛盾するので\(\left\langle \boldsymbol{x}-P_{A}\left(\boldsymbol{x}\right),\boldsymbol{a}\right\rangle =0\)となる。
従って、任意の\(\boldsymbol{a}\in A\)に対し、\(\left\langle \boldsymbol{x}-P_{A}\left(\boldsymbol{x}\right),\boldsymbol{a}\right\rangle =0\)となるので、\(\boldsymbol{x}-P_{A}\left(\boldsymbol{x}\right)\perp A\)となる。
これより、\(y=-P_{A}\left(\boldsymbol{x}\right),z=\boldsymbol{x}-P_{A}\left(\boldsymbol{x}\right)\)とおくと、
\begin{align*} \boldsymbol{x} & =\left(\boldsymbol{x}-P_{A}\left(\boldsymbol{x}\right)\right)+\left(-P_{A}\left(\boldsymbol{x}\right)\right)\\ & =\boldsymbol{z}+\boldsymbol{y} \end{align*} とすると、\(\boldsymbol{y}\in A\)であり、\(\boldsymbol{x}-P_{A}\left(\boldsymbol{x}\right)\perp A\)なので、\(\boldsymbol{x}-P_{A}\left(\boldsymbol{x}\right)=\boldsymbol{z}\in A^{\perp}\)となるので、任意の元は\(A\)の元と\(A^{\perp}\)の元の和で表される。

一意性

\(\boldsymbol{y},\boldsymbol{y}'\in A;\boldsymbol{z},\boldsymbol{z}'\in A^{\perp}\)として、\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}+\boldsymbol{z}=\boldsymbol{y}'+\boldsymbol{z}'\)と2通りの表し方があるとする。
そうすると、\(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{y}'=\boldsymbol{z}-\boldsymbol{z}'\)となり左辺は\(A\)の元、右辺は\(A^{\perp}\)の元なので、左辺右辺共に\(A\cap A^{\perp}\)の元になるが\(A\cap A^{\perp}=\left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)である。
従って、\(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{y}'=\boldsymbol{0}=\boldsymbol{z}-\boldsymbol{z}'\)となるので、\(\boldsymbol{y}=\boldsymbol{y}',\boldsymbol{z}=\boldsymbol{z}'\)となり1通りの表し方しかないことになるので一意的であることが示せた。
これより、任意の元は\(A\)の元と\(A^{\perp}\)の元の和で表され、\(A\cap A^{\perp}=\left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)であるので、\(H=A\oplus A^{\perp}\)となる。