リーマン・ゼータ関数とディリクレ・イータ関数の定義
(1)リーマン・ゼータ関数
リーマン・ゼータ関数は以下で定義される。\[ \zeta(s)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{s}} \]
(2)ディリクレ・イータ関数
ディリクレ・イータ関数は以下で定義される。\[ \eta(s)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{k^{s}} \]
ページ情報
| タイトル | リーマン・ゼータ関数とディリクレ・イータ関数の定義 |
| URL | https://www.nomuramath.com/zomisy5e/ |
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ゼータ関数の通常型母関数
\[
\sum_{k=2}^{\infty}\zeta\left(k\right)z^{k}=-z\left(\psi\left(z\right)+\pi\tan^{-1}\left(\pi z\right)+\gamma\right)
\]
リーマン・ゼータ関数の等式(解析接続)
\[
\zeta\left(s\right)=1+\sum_{j=0}^{\infty}C\left(-s,j\right)\zeta\left(s+j\right)
\]
リーマン・ゼータ関数の解析接続による非負整数値
\[
\zeta\left(-n\right)=\left(-1\right)^{n}\frac{B_{n+1}}{n+1}
\]
リーマン・ゼータ関数の微分の極限
\[
\lim_{x\rightarrow0}x^{n+1}\zeta^{\left(n\right)}\left(1\pm x\right)=\pm\left(-1\right)^{n}n!
\]