(1)表現行列の解説

任意の\(\boldsymbol{x}\in V\)に対し、線形写像\(f\)で写すと\(f\left(\boldsymbol{x}\right)=\boldsymbol{y}\)となり、\(\boldsymbol{x}=\sum_{k=1}^{m}x_{k}\boldsymbol{v}_{k},\boldsymbol{y}=\sum_{k=1}^{n}y_{k}\boldsymbol{w}_{k}\)と表すことができ、
\begin{align*} \left(\boldsymbol{w}_{1},\boldsymbol{w}_{2},\cdots,\boldsymbol{w}_{n}\right)\left(\begin{array}{c} y_{1}\\ y_{2}\\ \vdots\\ y_{n} \end{array}\right) & =\sum_{k=1}^{n}y_{k}\boldsymbol{w}_{k}\\ & =\boldsymbol{y}\\ & =f\left(\boldsymbol{x}\right)\\ & =f\left(\sum_{k=1}^{m}x_{k}\boldsymbol{v}_{k}\right)\\ & =\sum_{k=1}^{m}x_{k}f\left(\boldsymbol{v}_{k}\right)\\ & =\left(f\left(\boldsymbol{v}_{1}\right),f\left(\boldsymbol{v}_{2}\right),\cdots,f\left(\boldsymbol{v}_{m}\right)\right)\left(\begin{array}{c} x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots\\ x_{m} \end{array}\right) \end{align*} となる。
また、\(\boldsymbol{w}_{1},\boldsymbol{w}_{2},\cdots,\boldsymbol{w}_{n}\)は基底なので、ある\(n\times m\)行列\(A\)が存在し、
\[ \left(f\left(\boldsymbol{v}_{1}\right),f\left(\boldsymbol{v}_{2}\right),\cdots,f\left(\boldsymbol{v}_{m}\right)\right)=\left(\boldsymbol{w}_{1},\boldsymbol{w}_{2},\cdots,\boldsymbol{w}_{n}\right)A \] と表すことができる。
これより、
\begin{align*} \left(\boldsymbol{w}_{1},\boldsymbol{w}_{2},\cdots,\boldsymbol{w}_{n}\right)\left(\begin{array}{c} y_{1}\\ y_{2}\\ \vdots\\ y_{n} \end{array}\right) & =\left(f\left(\boldsymbol{v}_{1}\right),f\left(\boldsymbol{v}_{2}\right),\cdots,f\left(\boldsymbol{v}_{m}\right)\right)\left(\begin{array}{c} x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots\\ x_{m} \end{array}\right)\\ & =\left(\boldsymbol{w}_{1},\boldsymbol{w}_{2},\cdots,\boldsymbol{w}_{n}\right)A\left(\begin{array}{c} x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots\\ x_{m} \end{array}\right) \end{align*} となり、移項すると、
\[ \left(\boldsymbol{w}_{1},\boldsymbol{w}_{2},\cdots,\boldsymbol{w}_{n}\right)\left(\left(\begin{array}{c} y_{1}\\ y_{2}\\ \vdots\\ y_{n} \end{array}\right)-A\left(\begin{array}{c} x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots\\ x_{m} \end{array}\right)\right)=0 \] となり、\(\boldsymbol{w}_{1},\boldsymbol{w}_{2},\cdots,\boldsymbol{w}_{n}\)は基底より1次独立であるので、
\[ \left(\begin{array}{c} y_{1}\\ y_{2}\\ \vdots\\ y_{n} \end{array}\right)-A\left(\begin{array}{c} x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots\\ x_{m} \end{array}\right)=O_{n,1} \] となる。
これより、
\[ A\left(\begin{array}{c} x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots\\ x_{m} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} y_{1}\\ y_{2}\\ \vdots\\ y_{n} \end{array}\right) \] となる。

(2)

表現行列は基底に依存します。
また、標準基底では、線形写像の行列表示と表現行列とが一致します。
これを示す。
\(K\)上の有限次元ベクトル空間\(V,W\)があるとき、次元を\(\dim V=m,\dim W=n\)とすると、\(V\simeq K^{m},W\simeq K^{n}\)なので、\(K^{m}\)と\(K^{n}\)で考える。
\(K\)上ベクトル空間\(K^{m},K^{n}\)があり、\(K^{m}\)の基底を\(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{m}\)、\(K^{n}\)の基底を\(\boldsymbol{w}_{1},\boldsymbol{w}_{2},\cdots,\boldsymbol{w}_{n}\)として、\(n\times m\)行列\(B\)を用いて線形写像を\(f_{B}:K^{m}\rightarrow K^{n},\boldsymbol{x}\mapsto f_{B}\left(\boldsymbol{x}\right)=B\boldsymbol{x}\)とする。
このとき、この線形写像の表現行列を\(A\)とすると、
\[ \left(f_{B}\left(\boldsymbol{v}_{1}\right),f_{B}\left(\boldsymbol{v}_{2}\right),\cdots,f_{B}\left(\boldsymbol{v}_{m}\right)\right)=\left(\boldsymbol{w}_{1},\boldsymbol{w}_{2},\cdots,\boldsymbol{w}_{n}\right)A \] となり、
\begin{align*} \left(\boldsymbol{w}_{1},\boldsymbol{w}_{2},\cdots,\boldsymbol{w}_{n}\right)A & =\left(f_{B}\left(\boldsymbol{v}_{1}\right),f_{B}\left(\boldsymbol{v}_{2}\right),\cdots,f_{B}\left(\boldsymbol{v}_{m}\right)\right)\\ & =\left(B\boldsymbol{v}_{1},B\boldsymbol{v}_{2},\cdots,B\boldsymbol{v}_{m}\right)\\ & =B\left(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{m}\right) \end{align*} となる。
ここで、\(\left(\boldsymbol{w}_{1},\boldsymbol{w}_{2},\cdots,\boldsymbol{w}_{n}\right)\)は基底なので逆行列\(\left(\boldsymbol{w}_{1},\boldsymbol{w}_{2},\cdots,\boldsymbol{w}_{n}\right)^{-1}\)が存在するので、
\[ A=\left(\boldsymbol{w}_{1},\boldsymbol{w}_{2},\cdots,\boldsymbol{w}_{n}\right)^{-1}B\left(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{m}\right) \] となるので、表現行列\(A\)は基底の取り方により異なる。
また、\(K^{m}\)と\(K^{n}\)の基底を標準基底にとると、
\begin{align*} \left(\boldsymbol{w}_{1},\boldsymbol{w}_{2},\cdots,\boldsymbol{w}_{n}\right) & =\left(\begin{array}{cccc} \delta_{1,1} & \delta_{2,1} & \cdots & \delta_{n,1}\\ \delta_{1,2} & \delta_{2,2} & \cdots & \delta_{n,2}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \delta_{1,n} & \delta_{2,n} & \cdots & \delta_{n,n} \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cccc} \delta_{1,1} & \delta_{1,2} & \cdots & \delta_{1,n}\\ \delta_{2,1} & \delta_{2,2} & \cdots & \delta_{2,n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \delta_{n,1} & \delta_{n,2} & \cdots & \delta_{n,n} \end{array}\right)\\ & =I_{n} \end{align*} となり、同様に、
\[ \left(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{m}\right)=I_{m} \] となる。
これより、
\begin{align*} A & =I_{n}^{-1}BI_{m}\\ & =B \end{align*} となるので、標準基底では線形写像の行列表示\(B\)と表現行列\(A\)は一致する。