ベータ関数の対称性
ベータ関数の対称性
ベータ関数\(B\left(\alpha,\beta\right)\)は次の対称性がある。
\[ B\left(\alpha,\beta\right)=B\left(\beta,\alpha\right) \]
ベータ関数\(B\left(\alpha,\beta\right)\)は次の対称性がある。
\[ B\left(\alpha,\beta\right)=B\left(\beta,\alpha\right) \]
\begin{align*}
B\left(\alpha,\beta\right) & =\int_{0}^{1}t^{\alpha-1}\left(1-t\right)^{\beta-1}dt\\
& =-\int_{1}^{0}\left(1-t\right)^{\alpha-1}t^{\beta-1}dt\cmt{1-t\rightarrow t}\\
& =\int_{0}^{1}t^{\beta-1}\left(1-t\right)^{\alpha-1}dt\\
& =B\left(\beta,\alpha\right)
\end{align*}
ページ情報
| タイトル | ベータ関数の対称性 |
| URL | https://www.nomuramath.com/ym6x6f0z/ |
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ベータ関数と不完全ベータ関数の関係
\[
B\left(z;\alpha,\beta\right)+B\left(1-z;\beta,\alpha\right)=B\left(\alpha,\beta\right)
\]
ベータ関数の特殊値
\[
B\left(\alpha,1\right)=\frac{1}{\alpha}
\]
ベータ関数と2項係数の逆数の級数表示
\[
B(x,y)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{C(k-y,k)}{x+k}
\]
不完全ベータ関数の漸化式
\[
B\left(z;\alpha+1,\beta\right)=\frac{1}{\alpha+\beta}\left(\alpha B\left(z;\alpha,\beta\right)-z^{\alpha}\left(1-z\right)^{\beta}\right)
\]