2項係数の2乗和
中2項係数の2乗和
\(m\in\mathbb{Z}_{0}\)とする。
\[ \sum_{j=0}^{m}C^{2}(m,j)=C(2m,m) \]
\(m\in\mathbb{Z}_{0}\)とする。
\[ \sum_{j=0}^{m}C^{2}(m,j)=C(2m,m) \]
\begin{align*}
\sum_{j=0}^{m}C^{2}(m,j) & =\sum_{j=0}^{m}C(m,j)C(m,m-j)\\
& =C(2m,m)
\end{align*}
ページ情報
| タイトル | 2項係数の2乗和 |
| URL | https://www.nomuramath.com/y6xkt7ax/ |
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ディクソンの等式
\[
\sum_{k=-a}^{a}(-1)^{k}C(a+b,a+k)C(b+c,b+k)C(c+a,c+k)=\frac{(a+b+c)!}{a!b!c!}
\]
2項係数を含む総和
\[
\sum_{k=0}^{n}\frac{\left(-1\right)^{k}C\left(n,k\right)}{m+k}=\frac{1}{mC\left(m+n,m\right)}
\]
2項変換と交代2項変換の母関数
\[
\sum_{k=0}^{\infty}b_{k}x^{k}=\frac{1}{1-x}\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\left(\frac{x}{1-x}\right)^{k}
\]
2項変換と交代2項変換の逆変換
\[
a_{n}=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{n-k}C(n,k)b_{k}
\]