2項係数の2乗和
中2項係数の2乗和
\(m\in\mathbb{Z}_{0}\)とする。
\[ \sum_{j=0}^{m}C^{2}(m,j)=C(2m,m) \]
\(m\in\mathbb{Z}_{0}\)とする。
\[ \sum_{j=0}^{m}C^{2}(m,j)=C(2m,m) \]
\begin{align*}
\sum_{j=0}^{m}C^{2}(m,j) & =\sum_{j=0}^{m}C(m,j)C(m,m-j)\\
& =C(2m,m)
\end{align*}
ページ情報
| タイトル | 2項係数の2乗和 |
| URL | https://www.nomuramath.com/y6xkt7ax/ |
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2項係数の総和その他
\[
\sum_{k=1}^{n-1}\frac{C\left(k-n,k\right)}{k}=-H_{n-1}
\]
2項係数の関係その他
\[
C\left(\alpha,\beta\right)C\left(\beta,\gamma\right)=C\left(\alpha,\gamma\right)C\left(\alpha-\gamma,\beta-\gamma\right)
\]
一般ヴァンデルモンドの畳み込み定理
\[
\sum_{k_{1}+\cdots+k_{p}=m}\prod_{j=1}^{p}C\left(n_{j},k_{j}\right)=C\left(\sum_{j=1}^{p}n_{j},m\right)
\]
2項係数の第1引数と第2引数同士の総和
\[
\sum_{j=0}^{k-a}\left(-1\right)^{j}C\left(k,j+a\right)C\left(j+b,c\right)=\begin{cases}
\left(-1\right)^{k-a}C\left(b-a,c-k\right) & a-b+c\leq k\\
0 & k<a-b+c
\end{cases}
\]