互いに素な集合と対角集合の関係

by nomura · 2023年8月11日

互いに素な集合と対角集合の関係
集合\(X\)の部分集合\(A,B\subseteq X\)に対し、以下が成り立つ。
\[ A\cap B=\emptyset\Leftrightarrow\left(A\times B\right)\cap\Delta_{X}=\emptyset \]

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\(\Delta_{X}\)は\(X\)の対角集合

\(\Rightarrow\)

\(A\cap B=\emptyset\)のとき、
\begin{align*} \left(A\times B\right)\cap\Delta_{X} & =\left(A\times B\right)\cap\left\{ \left(x,y\right)\in X\times X;x=y\right\} \\ & \subseteq\left\{ \left(x,y\right)\in A\times B;x\ne y\right\} \cap\left\{ \left(x,y\right)\in X\times X;x=y\right\} \\ & =\emptyset \end{align*} となるので、\(\left(A\times B\right)\cap\Delta_{x}=\emptyset\)となる。
従って\(\Rightarrow\)が成り立つ。

\(\Leftarrow\)

対偶で示す。
\(A\cap B\ne\emptyset\)のとき、\(\left(A\times B\right)\cap\Delta_{X}\ne\emptyset\)を示せばいい。
\(A\cap B\ne\emptyset\)なのである元\(a\in X\)が存在し\(a\in A\land a\in B\)となる。
このとき、\(\left(a,a\right)\in A\times B\)となり、対角集合の定義より、\(\left(a,a\right)\in\Delta_{X}\)なので、\(\left(a,a\right)\in\left(A\times B\right)\cap\Delta_{X}\ne\emptyset\)となる。
故に対偶が示されたので\(\Leftarrow\)が成り立つ。