対数を含む積分
対数を含む積分
対数を含む次の積分が成り立つ。
\[ \int\log\left(x\right)f\left(x\right)dx=\left[\frac{d}{dt}\int x^{t}f\left(x\right)dx\right]_{t=0} \]
対数を含む次の積分が成り立つ。
\[ \int\log\left(x\right)f\left(x\right)dx=\left[\frac{d}{dt}\int x^{t}f\left(x\right)dx\right]_{t=0} \]
\(f\left(x\right)=x^{n}\)とすると、
\begin{align*} \int\log\left(x\right)x^{n}dx & =\left[\frac{d}{dt}\int x^{t}x^{n}dx\right]_{t=0}\\ & =\left[\frac{d}{dt}\int x^{t+n}dx\right]_{t=0}\\ & =\left[\frac{d}{dt}\frac{1}{t+n+1}x^{t+n+1}\right]_{t=0}\\ & =\left[-\frac{1}{\left(t+n+1\right)^{2}}x^{t+n+1}+\frac{1}{t+n+1}\log\left(x\right)x^{t+n+1}\right]_{t=0}\\ & =-\frac{x^{n+1}}{\left(n+1\right)^{2}}+\frac{\log\left(x\right)x^{n+1}}{n+1} \end{align*} となる。
部分積分で求めると、
\begin{align*} \int\log\left(x\right)x^{n}dx & =\frac{\log\left(x\right)x^{n+1}}{n+1}-\int\frac{x^{n}}{n+1}dx\\ & =\frac{\log\left(x\right)x^{n+1}}{n+1}-\frac{x^{n+1}}{\left(n+1\right)^{2}} \end{align*} となるのでこの場合は普通に部分積分で求める方がよい。
\begin{align*} \int\log\left(x\right)x^{n}dx & =\left[\frac{d}{dt}\int x^{t}x^{n}dx\right]_{t=0}\\ & =\left[\frac{d}{dt}\int x^{t+n}dx\right]_{t=0}\\ & =\left[\frac{d}{dt}\frac{1}{t+n+1}x^{t+n+1}\right]_{t=0}\\ & =\left[-\frac{1}{\left(t+n+1\right)^{2}}x^{t+n+1}+\frac{1}{t+n+1}\log\left(x\right)x^{t+n+1}\right]_{t=0}\\ & =-\frac{x^{n+1}}{\left(n+1\right)^{2}}+\frac{\log\left(x\right)x^{n+1}}{n+1} \end{align*} となる。
部分積分で求めると、
\begin{align*} \int\log\left(x\right)x^{n}dx & =\frac{\log\left(x\right)x^{n+1}}{n+1}-\int\frac{x^{n}}{n+1}dx\\ & =\frac{\log\left(x\right)x^{n+1}}{n+1}-\frac{x^{n+1}}{\left(n+1\right)^{2}} \end{align*} となるのでこの場合は普通に部分積分で求める方がよい。
\begin{align*}
\int\log\left(x\right)f\left(x\right)dx & =\int\left[\log\left(x\right)x^{t}\right]_{t=0}f\left(x\right)dx\\
& =\int\left[\frac{d}{dt}x^{t}\right]_{t=0}f\left(x\right)dx\\
& =\left[\frac{d}{dt}\int x^{t}f\left(x\right)dx\right]_{t=0}
\end{align*}
ページ情報
| タイトル | 対数を含む積分 |
| URL | https://www.nomuramath.com/xe0d2pwn/ |
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冪関数と指数関数の積の積分
\[
\int z^{\alpha}e^{\beta z}dz=\frac{z^{\alpha}}{\beta\left(-\beta z\right)^{\alpha}}\Gamma\left(\alpha+1,-\beta z\right)+C
\]
反復積分に関するコーシーの公式
\[
\int_{a}^{x}\int_{a}^{y_{1}}\cdots\int_{a}^{y_{n-1}}f\left(y_{n}\right)dy_{n}\cdots dy_{1}=\frac{1}{\left(n-1\right)!}\int_{a}^{x}\left(x-t\right)^{n-1}f\left(t\right)dt
\]
微分の基本公式
\[
\left(f(x)g(x)\right)'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
\]
ルートの中に2乗を含む積分
\[
\int f\left(\sqrt{a^{2}-x^{2}}\right)dx=a\int f\left(a\cos t\right)\cos tdt\cnd{x=a\sin t}
\]