ゼータ関数とイータ関数の関係
ゼータ関数とイータ関数は以下の関係がある。
\[ \eta(s)=(1-2^{1-s})\zeta(s) \]
\[ \eta(s)=(1-2^{1-s})\zeta(s) \]
\begin{align*}
\eta(s) & =\sum_{k=1}^{^{\infty}}(-1)^{k+1}k^{-s}\\
& =\sum_{k=1}^{^{\infty}}(-1)^{2k+1}(2k)^{-s}+\sum_{k=1}^{^{\infty}}(-1)^{2k}(2k-1)^{-s}\\
& =-\sum_{k=1}^{^{\infty}}(2k)^{-s}+\sum_{k=1}^{^{\infty}}(2k-1)^{-s}\\
& =-\sum_{k=1}^{^{\infty}}(2k)^{-s}+\sum_{k=1}^{^{\infty}}k^{-s}-\sum_{k=1}^{^{\infty}}(2k)^{-s}\\
& =-2^{1-s}\sum_{k=1}^{^{\infty}}k^{-s}+\sum_{k=1}^{^{\infty}}k^{-s}\\
& =(1-2^{1-s})\zeta(s)
\end{align*}
ページ情報
| タイトル | ゼータ関数とイータ関数の関係 |
| URL | https://www.nomuramath.com/wsvsj63f/ |
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ゼータ関数とイータ関数とガンマ関数
\[
\zeta(s)=\frac{1}{\Gamma(s)}\int_{0}^{\infty}\frac{x^{s-1}}{e^{x}-1}dx
\]
フルヴィッツ・ゼータ関数の乗法定理
\[
n^{s}\zeta\left(s,nz\right)=\sum_{k=0}^{n-1}\zeta\left(s,z+\frac{k}{n}\right)
\]
(*)フルヴィッツの公式
\[
\zeta\left(1-s,a\right)=\frac{\Gamma\left(s\right)}{\left(2\pi\right)^{s}}\left\{ e^{-i\frac{\pi s}{2}}\Li_{s}\left(e^{2\pi ia}\right)+e^{i\frac{\pi s}{2}}\Li_{s}\left(e^{-2\pi ia}\right)\right\}
\]
リーマン・ゼータ関数とディリクレ・イータ関数の導関数の特殊値
\[
\zeta'\left(0\right)=-\Log\sqrt{2\pi}
\]