3次方程式の標準形
3次方程式の標準形
3次方程式\(a_{3}\ne0\)
\[ a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0 \] は以下のように変形できる。
\[ X^{3}+pX+q=0 \] ただし、
\[ \begin{cases} X=x+\frac{a_{2}}{3a_{3}}\\ p=\frac{3a_{1}a_{3}-a_{2}^{\;2}}{3a_{3}^{\;2}}\\ q=\frac{3^{3}a_{0}a_{3}^{\;2}+2a_{2}^{\;3}-9a_{1}a_{2}a_{3}}{3^{3}a_{3}^{\;3}} \end{cases} \] である。
3次方程式\(a_{3}\ne0\)
\[ a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0 \] は以下のように変形できる。
\[ X^{3}+pX+q=0 \] ただし、
\[ \begin{cases} X=x+\frac{a_{2}}{3a_{3}}\\ p=\frac{3a_{1}a_{3}-a_{2}^{\;2}}{3a_{3}^{\;2}}\\ q=\frac{3^{3}a_{0}a_{3}^{\;2}+2a_{2}^{\;3}-9a_{1}a_{2}a_{3}}{3^{3}a_{3}^{\;3}} \end{cases} \] である。
\begin{align*}
a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0} & =a_{3}\left(x^{3}+\frac{a_{2}}{a_{3}}x^{2}+\frac{a_{1}}{a_{3}}x+\frac{a_{0}}{a_{3}}\right)\\
& =a_{3}\left\{ \left(x+\frac{a_{2}}{3a_{3}}\right)^{3}-3\left(\frac{a_{2}}{3a_{3}}\right)^{2}x-\left(\frac{a_{2}}{3a_{3}}\right)^{3}+\frac{a_{1}}{a_{3}}x+\frac{a_{0}}{a_{3}}\right\} \\
& =a_{3}\left\{ \left(x+\frac{a_{2}}{3a_{3}}\right)^{3}+\left(\frac{3a_{1}a_{3}-a_{2}^{\;2}}{3a_{3}^{\;2}}\right)x+\frac{3^{3}a_{0}a_{3}^{\;2}-a_{2}^{\;3}}{3^{3}a_{3}^{\;3}}\right\} \\
& =a_{3}\left\{ \left(x+\frac{a_{2}}{3a_{3}}\right)^{3}+\left(\frac{3a_{1}a_{3}-a_{2}^{\;2}}{3a_{3}^{\;2}}\right)\left(x+\frac{a_{2}}{3a_{3}}\right)-\frac{3a_{1}a_{3}-a_{2}^{\;2}}{3a_{3}^{\;2}}\frac{a_{2}}{3a_{3}}+\frac{3^{3}a_{0}a_{3}^{\;2}-a_{2}^{\;3}}{3^{3}a_{3}^{\;3}}\right\} \\
& =a_{3}\left\{ \left(x+\frac{a_{2}}{3a_{3}}\right)^{3}+\left(\frac{3a_{1}a_{3}-a_{2}^{\;2}}{3a_{3}^{\;2}}\right)\left(x+\frac{a_{2}}{3a_{3}}\right)+\frac{3^{3}a_{0}a_{3}^{\;2}+2a_{2}^{\;3}-9a_{1}a_{2}a_{3}}{3^{3}a_{3}^{\;3}}\right\}
\end{align*}
これより、
\[ \begin{cases} X=x+\frac{a_{2}}{3a_{3}}\\ p=\frac{3a_{1}a_{3}-a_{2}^{\;2}}{3a_{3}^{\;2}}\\ q=\frac{27a_{0}a_{3}^{\;2}+2a_{2}^{\;3}-9a_{1}a_{2}a_{3}}{27a_{3}^{\;3}} \end{cases} \] とおくと、
\begin{align*} 0 & =a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\\ & =a_{3}\left\{ X^{3}+pX+q\right\} \end{align*} 両辺を\(a_{3}\)で割って、
\[ X^{3}+pX+q=0 \] となる。
\[ \begin{cases} X=x+\frac{a_{2}}{3a_{3}}\\ p=\frac{3a_{1}a_{3}-a_{2}^{\;2}}{3a_{3}^{\;2}}\\ q=\frac{27a_{0}a_{3}^{\;2}+2a_{2}^{\;3}-9a_{1}a_{2}a_{3}}{27a_{3}^{\;3}} \end{cases} \] とおくと、
\begin{align*} 0 & =a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\\ & =a_{3}\left\{ X^{3}+pX+q\right\} \end{align*} 両辺を\(a_{3}\)で割って、
\[ X^{3}+pX+q=0 \] となる。
ページ情報
| タイトル | 3次方程式の標準形 |
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相反方程式の定義と解法
\[
\sum_{k=0}^{n}a_{k}x^{k}=0
\]
n乗同士の和と差の因数分解
\[
a^{2n+1}\pm b^{2n+1}=\left(a\pm b\right)\left(\sum_{k=0}^{2n}\left(\mp1\right)^{k}a^{2n-k}b^{k}\right)
\]
4次方程式標準形の解き方
\[
y=\frac{\mp_{1}\sqrt{2u-p}\pm_{2}\sqrt{-p-2u-\frac{4q}{2\sqrt{2u-p}}}}{2}
\]
ブラーマグプタ2平方恒等式
\[
\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)=\left(ac\pm bd\right)^{2}+\left(ad\mp bc\right)^{2}
\]