3次方程式の標準形
3次方程式の標準形
3次方程式\(a_{3}\ne0\)
\[ a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0 \] は以下のように変形できる。
\[ X^{3}+pX+q=0 \] ただし、
\[ \begin{cases} X=x+\frac{a_{2}}{3a_{3}}\\ p=\frac{3a_{1}a_{3}-a_{2}^{\;2}}{3a_{3}^{\;2}}\\ q=\frac{3^{3}a_{0}a_{3}^{\;2}+2a_{2}^{\;3}-9a_{1}a_{2}a_{3}}{3^{3}a_{3}^{\;3}} \end{cases} \] である。
3次方程式\(a_{3}\ne0\)
\[ a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0 \] は以下のように変形できる。
\[ X^{3}+pX+q=0 \] ただし、
\[ \begin{cases} X=x+\frac{a_{2}}{3a_{3}}\\ p=\frac{3a_{1}a_{3}-a_{2}^{\;2}}{3a_{3}^{\;2}}\\ q=\frac{3^{3}a_{0}a_{3}^{\;2}+2a_{2}^{\;3}-9a_{1}a_{2}a_{3}}{3^{3}a_{3}^{\;3}} \end{cases} \] である。
\begin{align*}
a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0} & =a_{3}\left(x^{3}+\frac{a_{2}}{a_{3}}x^{2}+\frac{a_{1}}{a_{3}}x+\frac{a_{0}}{a_{3}}\right)\\
& =a_{3}\left\{ \left(x+\frac{a_{2}}{3a_{3}}\right)^{3}-3\left(\frac{a_{2}}{3a_{3}}\right)^{2}x-\left(\frac{a_{2}}{3a_{3}}\right)^{3}+\frac{a_{1}}{a_{3}}x+\frac{a_{0}}{a_{3}}\right\} \\
& =a_{3}\left\{ \left(x+\frac{a_{2}}{3a_{3}}\right)^{3}+\left(\frac{3a_{1}a_{3}-a_{2}^{\;2}}{3a_{3}^{\;2}}\right)x+\frac{3^{3}a_{0}a_{3}^{\;2}-a_{2}^{\;3}}{3^{3}a_{3}^{\;3}}\right\} \\
& =a_{3}\left\{ \left(x+\frac{a_{2}}{3a_{3}}\right)^{3}+\left(\frac{3a_{1}a_{3}-a_{2}^{\;2}}{3a_{3}^{\;2}}\right)\left(x+\frac{a_{2}}{3a_{3}}\right)-\frac{3a_{1}a_{3}-a_{2}^{\;2}}{3a_{3}^{\;2}}\frac{a_{2}}{3a_{3}}+\frac{3^{3}a_{0}a_{3}^{\;2}-a_{2}^{\;3}}{3^{3}a_{3}^{\;3}}\right\} \\
& =a_{3}\left\{ \left(x+\frac{a_{2}}{3a_{3}}\right)^{3}+\left(\frac{3a_{1}a_{3}-a_{2}^{\;2}}{3a_{3}^{\;2}}\right)\left(x+\frac{a_{2}}{3a_{3}}\right)+\frac{3^{3}a_{0}a_{3}^{\;2}+2a_{2}^{\;3}-9a_{1}a_{2}a_{3}}{3^{3}a_{3}^{\;3}}\right\}
\end{align*}
これより、
\[ \begin{cases} X=x+\frac{a_{2}}{3a_{3}}\\ p=\frac{3a_{1}a_{3}-a_{2}^{\;2}}{3a_{3}^{\;2}}\\ q=\frac{27a_{0}a_{3}^{\;2}+2a_{2}^{\;3}-9a_{1}a_{2}a_{3}}{27a_{3}^{\;3}} \end{cases} \] とおくと、
\begin{align*} 0 & =a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\\ & =a_{3}\left\{ X^{3}+pX+q\right\} \end{align*} 両辺を\(a_{3}\)で割って、
\[ X^{3}+pX+q=0 \] となる。
\[ \begin{cases} X=x+\frac{a_{2}}{3a_{3}}\\ p=\frac{3a_{1}a_{3}-a_{2}^{\;2}}{3a_{3}^{\;2}}\\ q=\frac{27a_{0}a_{3}^{\;2}+2a_{2}^{\;3}-9a_{1}a_{2}a_{3}}{27a_{3}^{\;3}} \end{cases} \] とおくと、
\begin{align*} 0 & =a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\\ & =a_{3}\left\{ X^{3}+pX+q\right\} \end{align*} 両辺を\(a_{3}\)で割って、
\[ X^{3}+pX+q=0 \] となる。
ページ情報
タイトル | 3次方程式の標準形 |
URL | https://www.nomuramath.com/wr4pkfdl/ |
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ビネ・コーシーとラグランジュの恒等式
\[
\left(\sum_{i=1}^{n}a_{i}c_{i}\right)\left(\sum_{j=1}^{n}b_{j}d_{j}\right)-\left(\sum_{i=1}^{n}a_{i}d_{i}\right)\left(\sum_{j=1}^{n}b_{j}c_{j}\right)=\sum_{1\leq i<j\leq n}\left(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}\right)\left(c_{i}d_{j}-c_{j}d_{i}\right)
\]
ブラーマグプタ2平方恒等式
\[
\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)=\left(ac\pm bd\right)^{2}+\left(ad\mp bc\right)^{2}
\]
オイラーの4平方恒等式
\[
\left(a_{0}^{\;2}+a_{1}^{\;2}+a_{2}^{\;2}+a_{3}^{\;2}\right)\left(b_{0}^{\;2}+b_{1}^{\;2}+b_{2}^{\;2}+b_{3}^{\;2}\right)=\left(a_{0}b_{0}-a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}\right)^{2}+\left(a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\right)^{2}+\left(a_{0}b_{2}-a_{1}b_{3}+a_{2}b_{0}+a_{3}b_{1}\right)^{2}+\left(a_{0}b_{3}+a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}+a_{3}b_{0}\right)^{2}
\]
因数分解による3次方程式の標準形の解
\[
x_{k}=\omega^{k}\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^{2}+\left(\frac{p}{3}\right)^{3}}}-\omega^{3-k}\frac{p}{3}\frac{1}{\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^{2}+\left(\frac{p}{3}\right)^{3}}}}\cnd{k\in\left\{ 0,1,2\right\} }
\]