(1)

\begin{align*} \emptyset/\emptyset & =\emptyset+\left\{ \emptyset\right\} \\ & =\emptyset \end{align*} \(A\ne\emptyset\)のときは、
\begin{align*} A/\emptyset & =\left\{ a;a\in A\right\} +\left\{ \emptyset\right\} \\ & =\left\{ a+\emptyset;a\in A\right\} \\ & =\left\{ \emptyset;a\in A\right\} \\ & =\left\{ \emptyset\right\} \end{align*} となる。
従って、
\[ A/\emptyset=\begin{cases} \emptyset & A=\emptyset\\ \left\{ \emptyset\right\} & A\ne\emptyset \end{cases} \] となる。
故に題意は成り立つ。

(2)

\begin{align*} \emptyset/A & =\left\{ g;g\in\emptyset\right\} /A\\ & =\left\{ g+A;g\in\emptyset\right\} \\ & =\emptyset \end{align*}

(3)

\begin{align*} A/\left\{ 0_{V}\right\} & =\left\{ a;a\in A\right\} +\left\{ 0_{V}\right\} \\ & =\left\{ a+0_{V};a\in A\right\} \\ & =\left\{ a;a\in A\right\} \\ & =A \end{align*}

(4)

\begin{align*} \left\{ 0_{V}\right\} /A & =\left\{ 0_{V}\right\} +\left\{ A\right\} \\ & =\left\{ 0_{V}+A\right\} \\ & =\left\{ A\right\} \end{align*}

(5)

\(A\ne\emptyset\)のときは、
\begin{align*} A/V & =\left\{ a;a\in A\right\} /V\\ & =\left\{ a+V;a\in A\right\} \\ & =\left\{ V;a\in A\right\} \\ & =\left\{ V\right\} \mrk *\\ & =\left\{ 0_{V}+V\right\} \\ & =\left\{ 0_{V}\right\} /V \end{align*} となり、\(A=\emptyset\)のときはベクトル空間は空集合ではないので、\(G\ne\emptyset\)であるので、\(\emptyset/V=\emptyset\)となる。
従って、
\begin{align*} A/V & =\begin{cases} \left\{ V\right\} & A\ne\emptyset\\ \emptyset & A=\emptyset \end{cases}\\ & =\begin{cases} \left\{ 0_{V}\right\} /V & A\ne\emptyset\\ \emptyset & A=\emptyset \end{cases} \end{align*} となる。
故に題意は成り立つ。

(6)

\(\Rightarrow\)

\begin{align*} a\in A & \Rightarrow a+B\in\left\{ g+B;g\in A\right\} \\ & \Leftrightarrow a+B\in A/B \end{align*}

逆は一般的に成り立たない

反例で示す。
\(K=\mathbb{R},V=\mathbb{R},B=\mathbb{R},A=\left\{ 0\right\} ,a=1\)とする。
このとき、\(a+B=1+B=1+\mathbb{R}=\mathbb{R}\in\left\{ \mathbb{R}\right\} =\left\{ 0\right\} /\mathbb{R}=\left\{ 0\right\} /B=A/B\)であるが、\(a=1\notin\left\{ 0\right\} =A\)である。
従って、逆は一般的に成り立たない。

(7)

\(\Rightarrow\)

\begin{align*} v+W\in A/W & \Leftrightarrow v+W\in\left\{ a+W;a\in A\right\} \\ & \Leftrightarrow\exists a\in A,v+W=a+W\\ & \Rightarrow\exists a\in A,a\in v+W\\ & \Leftrightarrow\exists a\in V,a\in\left(v+W\right)\cap A\\ & \Leftrightarrow\left(v+W\right)\cap A\ne\emptyset \end{align*} となるので、\(\Rightarrow\)が成り立つ。

\(\Leftarrow\)

\begin{align*} \left(v+W\right)\cap A\ne\emptyset & \Leftrightarrow\exists a\in G,a\in\left(v+W\right)\cap A\\ & \Leftrightarrow\exists a\in G,a\in\left(v+W\right)\land a\in A\\ & \Leftrightarrow\exists a\in A,a\in\left(v+W\right)\\ & \Leftrightarrow\exists a\in A,\exists w\in W,a=v+w\\ & \Leftrightarrow\exists a\in A,\exists w\in W,v=a-w\\ & \Rightarrow\exists a\in A,\exists w\in W,v+W=a-w+W\\ & \Leftrightarrow\exists a\in A,v+W=a+W\cmt{\because-w\in W}\\ & \Leftrightarrow\exists a\in A,v+W=a+W\in A/W\\ & \Leftrightarrow v+W\in A/W \end{align*} となるので\(\Leftarrow\)が成り立つ。

\(\Leftrightarrow\)

これらより\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。

(8)

\(A\subseteq B\)であるとき、
\begin{align*} v+C\in A/C & \Leftrightarrow\exists a\in A,v+C=a+C\\ & \Rightarrow\exists a\in B,v+C=a+C\cmt{\because A\subseteq B}\\ & \Leftrightarrow v+C\in B/C \end{align*} となるので、\(A/C\subseteq B/C\)となる
従って、\(\Rightarrow\)が成り立つ

逆は一般的に成り立たない

反例で示す。
\(K=\mathbb{R},V=\mathbb{R},W=\mathbb{R},A=\left\{ 0\right\} ,B=\left\{ 2\right\} \)とする。
このとき、
\begin{align*} A/W & =\left\{ 0\right\} /\mathbb{R}\\ & =\left\{ 0+\mathbb{R}\right\} \\ & =\left\{ \mathbb{R}\right\} \end{align*} \begin{align*} B/W & =\left\{ 2\right\} /\mathbb{R}\\ & =\left\{ 2+\mathbb{R}\right\} \\ & =\left\{ \mathbb{R}\right\} \end{align*} となるので、\(A/W=\left\{ \mathbb{R}\right\} \subseteq\left\{ \mathbb{R}\right\} =B/W\)であるが、\(A=\left\{ 0\right\} \nsubseteq\left\{ 2\right\} =B\)である。
従って逆は一般的に成り立たない。

(9)

\begin{align*} \left(A+B\right)/C & =\left(A+B\right)\left\{ C\right\} \\ & =\left\{ a+b;a\in A,b\in B\right\} \left\{ C\right\} \\ & =\left\{ a+b+C;a\in A,b\in B\right\} \\ & =\left\{ a;a\in A\right\} +\left\{ b+C;b\in B\right\} \\ & =\left\{ a;a\in A\right\} +\left(\left\{ b;b\in B\right\} +\left\{ C\right\} \right)\\ & =A+\left(B+\left\{ C\right\} \right)\\ & =A+\left(B/C\right) \end{align*}

(10)

\(W\)は\(V\)の部分空間なので、
\begin{align*} \left(v+W\right)/W & =\left\{ v+w;w\in W\right\} +\left\{ W\right\} \\ & =\left\{ v+w+W;w\in W\right\} \\ & =\left\{ v+W\right\} \cmt{\because W\text{は}V\text{の部分空間}}\\ & =\left\{ v\right\} +\left\{ W\right\} \\ & =\left\{ v\right\} /W \end{align*} となり題意は成り立つ。

(11)

\begin{align*} v+B\in\left(A/B\right)^{c} & \Leftrightarrow v+B\notin A/B\\ & \Rightarrow v\notin A\cmt{\because a\in A\Rightarrow a+B\in A/B}\\ & \Leftrightarrow v\in A^{c}\\ & \Rightarrow v+B\in A^{c}/B\cmt{\because a\in A\Rightarrow aB\in A/B} \end{align*} となるので、\(\left(A/B\right)^{c}\subseteq A^{c}/B\)となる。

逆は一般的に成り立たない

反例で示す。
\(K=\mathbb{R},V=\mathbb{R},B=\mathbb{R},A=\left\{ 0\right\} \)とする。
このとき、
\begin{align*} \left(A/B\right)^{c} & =\left(V/B\right)\setminus\left(A/B\right)\\ & =\left(\mathbb{R}/\mathbb{R}\right)\setminus\left(\left\{ 0\right\} /\mathbb{R}\right)\\ & =\left\{ \mathbb{R}\right\} \setminus\left\{ \mathbb{R}\right\} \\ & =\emptyset \end{align*} \begin{align*} A^{c}/B & =\left\{ 0\right\} ^{c}/\mathbb{R}\\ & =\left(\mathbb{R}\setminus\left\{ 0\right\} \right)/\mathbb{R}\\ & =\left\{ \mathbb{R}\right\} \end{align*} となるので、
\begin{align*} \left(A/B\right)^{c} & =\emptyset\\ & \subsetneq\left\{ \mathbb{R}\right\} \\ & =A^{c}/B \end{align*} となる。
従って、逆は一般的に成り立たない。

等号条件

\(B\)を部分空間\(W=B\)とすると、
\(\left(A/W\right)^{c}\subseteq A^{c}/W\)は常に成り立つので、等号が成り立つのは\(A^{c}/W\subseteq\left(A/W\right)^{c}\)となるときである。
\(A^{c}/W\subseteq\left(A/W\right)^{c}\)であることと、\(x+W\in A^{c}/W\)ならば\(x+W\in\left(A/W\right)^{c}\)は同値である。
ここで、
\[ x+W\in A^{c}/W\Leftrightarrow\left(x+W\right)\cap A^{c}\ne\emptyset \] \begin{align*} x+W\in\left(A/W\right)^{c} & \Leftrightarrow x+W\notin\left(A/W\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(x+W\in\left(A/W\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(\left(x+W\right)\cap A\ne\emptyset\right)\\ & \Leftrightarrow\left(x+W\right)\cap A=\emptyset \end{align*} であるので、\(\left(x+W\right)\cap A^{c}\ne\emptyset\)ならば\(\left(x+W\right)\cap A=\emptyset\)となる。
この対偶をとると、\(\left(x+W\right)\cap A\ne\emptyset\)ならば\(\left(x+W\right)\cap A^{c}=\emptyset\)となる。
従って、\(\left(x+W\right)\cap A\ne\emptyset\)ならば\(\left(x+W\right)\subseteq A\)となる。
故に等号条件は任意の\(v\in V\)について、\(\left(v+W\right)\cap A\ne\emptyset\)ならば\(v+W\subseteq A\)となるときに限る。