(1)行列

体\(K\)を要素とする\(m\times n\)行列全体の集合\(M_{m,n}\left(K\right)\)に通常の行列としての和とスカラー倍を定めると\(K\)上ベクトル空間となる。
このとき、零ベクトルは零行列\(O_{m,n}\)となる。

(2)ベクトル

\(\mathbb{R}^{n}=\left\{ \left(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\right);x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\in\mathbb{R}\right\} \)に通常のベクトルの和とスカラー倍を定めると\(\mathbb{R}\)上ベクトル空間となる。

(3)零空間

零ベクトルからのみなる集合\(\left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)に全ての演算は零ベクトルになると定めると\(\mathbb{R}\)上ベクトル空間となる。
これを零空間という。

(4)多項式

実数係数多項式全体の集合\(\mathbb{R}\left[x\right]=\left\{ \sum_{k=1}^{n}a_{k}x^{k};a_{0},a_{1},\cdots,a_{n}\in\mathbb{R},n\in\mathbb{N}\right\} \)は通常の演算によって\(\mathbb{R}\)上ベクトル空間となる。

(5)数列

実数列全体の集合\(l\left(\mathbb{R}\right)=\left\{ \left\{ a_{n}\right\} ;a_{n}\in\mathbb{N}\right\} \)は演算を\(\left\{ a_{n}\right\} +\left\{ b_{n}\right\} =\left\{ a_{n}\right\} +\left\{ b_{n}\right\} ,k\left\{ a_{n}\right\} =\left\{ ka_{n}\right\} \)と定めると\(\mathbb{R}\)上ベクトル空間となる。

(6)複素数

複素数全体の集合\(\mathbb{C}\)に和とスカラーを\(\mathbb{R}\)の元としたスカラー倍を定めると、\(\mathbb{C}\)は\(\mathbb{R}\)上ベクトル空間となる。
ただし、実数全体の集合\(\mathbb{R}\)に和とスカラーを\(\mathbb{C}\)の元としたスカラー倍を定めても、スカラー倍で閉じていないので、\(\mathbb{R}\)は\(\mathbb{C}\)上のベクトル空間にはなりません。

(7)関数

関数全体の集合\(F\left(\mathbb{R}\right)=\left\{ f;f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\right\} \)は通常の演算によって\(\mathbb{R}\)上ベクトル空間となる。