ベータ関数・不完全ベータ関数・正則ベータ関数の定義
ベータ関数・不完全ベータ関数・正則ベータ関数の定義
ベータ関数・不完全ベータ関数・正則ベータ関数を次で定義する。
\[ B\left(\alpha,\beta\right)=\int_{0}^{1}t^{\alpha-1}\left(1-t\right)^{\beta-1}dt \]
\[ B\left(z;\alpha,\beta\right)=\int_{0}^{z}t^{\alpha-1}\left(1-t\right)^{\beta-1}dt \]
ベータ関数・不完全ベータ関数・正則ベータ関数を次で定義する。
(1)ベータ関数
\(0<\Re\left(\alpha\right)\land0<\Re\left(\beta\right)\)とする。\[ B\left(\alpha,\beta\right)=\int_{0}^{1}t^{\alpha-1}\left(1-t\right)^{\beta-1}dt \]
(2)不完全ベータ関数
\(0\leq\Re\left(z\right)\leq1\)とする。\[ B\left(z;\alpha,\beta\right)=\int_{0}^{z}t^{\alpha-1}\left(1-t\right)^{\beta-1}dt \]
(3)正則ベータ関数
\[ I\left(z;\alpha,\beta\right)=\frac{B\left(z;\alpha,\beta\right)}{B\left(\alpha,\beta\right)} \]
ページ情報
| タイトル | ベータ関数・不完全ベータ関数・正則ベータ関数の定義 |
| URL | https://www.nomuramath.com/uwiu2ll8/ |
| SNSボタン |
ベータ関数・不完全ベータ関数の超幾何関数表示
\[
B\left(z;\alpha,\beta\right)=\frac{z^{\alpha}}{\alpha}F\left(\alpha,1-\beta;\alpha+1;z\right)
\]
不完全ベータ関数の漸化式
\[
B\left(z;\alpha+1,\beta\right)=\frac{1}{\alpha+\beta}\left(\alpha B\left(z;\alpha,\beta\right)-z^{\alpha}\left(1-z\right)^{\beta}\right)
\]
ベータ関数の特殊値
\[
B\left(\alpha,1\right)=\frac{1}{\alpha}
\]
ベータ関数と不完全ベータ関数の関係
\[
B\left(z;\alpha,\beta\right)+B\left(1-z;\beta,\alpha\right)=B\left(\alpha,\beta\right)
\]