ベータ関数・不完全ベータ関数・正則ベータ関数の定義
ベータ関数・不完全ベータ関数・正則ベータ関数の定義
ベータ関数・不完全ベータ関数・正則ベータ関数を次で定義する。
\[ B\left(\alpha,\beta\right)=\int_{0}^{1}t^{\alpha-1}\left(1-t\right)^{\beta-1}dt \]
\[ B\left(z;\alpha,\beta\right)=\int_{0}^{z}t^{\alpha-1}\left(1-t\right)^{\beta-1}dt \]
ベータ関数・不完全ベータ関数・正則ベータ関数を次で定義する。
(1)ベータ関数
\(0<\Re\left(\alpha\right)\land0<\Re\left(\beta\right)\)とする。\[ B\left(\alpha,\beta\right)=\int_{0}^{1}t^{\alpha-1}\left(1-t\right)^{\beta-1}dt \]
(2)不完全ベータ関数
\(0\leq\Re\left(z\right)\leq1\)とする。\[ B\left(z;\alpha,\beta\right)=\int_{0}^{z}t^{\alpha-1}\left(1-t\right)^{\beta-1}dt \]
(3)正則ベータ関数
\[ I\left(z;\alpha,\beta\right)=\frac{B\left(z;\alpha,\beta\right)}{B\left(\alpha,\beta\right)} \]
ページ情報
| タイトル | ベータ関数・不完全ベータ関数・正則ベータ関数の定義 |
| URL | https://www.nomuramath.com/uwiu2ll8/ |
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ベータ関数の関数等式
\[
xB(x,y+1)=yB(x+1,y)
\]
ベータ関数になる積分
\[
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{x}t\cos^{y}tdt=\frac{1}{2}B\left(\frac{x+1}{2},\frac{y+1}{2}\right)
\]
ベータ関数と2項係数の逆数の級数表示
\[
B(x,y)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{C(k-y,k)}{x+k}
\]
ベータ関数の対称性
\[
B\left(\alpha,\beta\right)=B\left(\beta,\alpha\right)
\]