各点収束するが一様収束しない例
各点収束するが一様収束しない例
次の関数列は各点収束するが一様収束しない。
\begin{align*} f_{n}\left(x\right) & =1_{\left[n,n+1\right)}\left(x\right)\\ & =\begin{cases} 1 & x\in\left[n,n+1\right)\\ 0 & x\notin\left[n,n+1\right) \end{cases} \end{align*} とする。
\[ f_{n}\left(x\right)=x^{n} \] とする。
\[ f_{n}\left(x\right)=nxe^{-nx} \] とする。
次の関数列は各点収束するが一様収束しない。
(1)
定義域を\(\left[0,\infty\right]\)として、関数列\(\left(f_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)を\begin{align*} f_{n}\left(x\right) & =1_{\left[n,n+1\right)}\left(x\right)\\ & =\begin{cases} 1 & x\in\left[n,n+1\right)\\ 0 & x\notin\left[n,n+1\right) \end{cases} \end{align*} とする。
(2)
定義域を\(\left[0,1\right]\)として、関数列\(\left(f_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)を\[ f_{n}\left(x\right)=x^{n} \] とする。
(3)
定義域を\(\left(0,\infty\right]\)として、関数列\(\left(f_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)を\[ f_{n}\left(x\right)=nxe^{-nx} \] とする。
(1)
各点収束
各点収束する関数を\(f\)とすると、\begin{align*} f\left(x\right) & =\lim_{n\rightarrow\infty}f_{n}\left(x\right)\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}1_{\left[n,n+1\right)}\left(x\right)\\ & =0 \end{align*} となるので\(\lim_{n\rightarrow\infty}\left|f_{n}\left(x\right)-O\left(x\right)\right|=0\)となり零関数\(O\)に各点収束する。
一様収束
\(x=n\)の点を考えると\begin{align*} \lim_{n\rightarrow\infty}f_{n}\left(n\right) & =\lim_{n\rightarrow\infty}1_{\left[n,n+1\right)}\left(n\right)\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}1\\ & =1 \end{align*} となるので
\begin{align*} \lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{x\in\left[0,\infty\right]}\left|f_{n}\left(x\right)-f\left(x\right)\right| & \geq\lim_{n\rightarrow\infty}\left|f_{n}\left(n\right)-O\left(n\right)\right|\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\left|1-0\right|\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}1\\ & =1\\ & \ne0 \end{align*} となり各点収束となる零関数\(O\)に一様収束しない。
従って、関数列\(\left(f_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)は一様収束しない。
(2)
各点収束
各点収束する関数を\(f\)とすると、\begin{align*} f\left(x\right) & :=\lim_{n\rightarrow\infty}f_{n}\left(x\right)\\ & =\begin{cases} 0 & \left(0\leq x<1\right)\\ 1 & \left(x=1\right) \end{cases} \end{align*} となり\(\lim_{n\rightarrow\infty}\left|f_{n}\left(x\right)-f\left(x\right)\right|=0\)となるので、\(f\left(x\right)\)に各点収束する。
一様収束
\(x=1-\frac{1}{n}\)の点を考えると\begin{align*} \lim_{n\rightarrow\infty}f_{n}\left(1-\frac{1}{n}\right) & =\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n}\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{n-1}{n}\right)^{n}\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{n}{n-1}\right)^{-n}\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^{-n}\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-n-1}\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-1}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-n}\\ & =\frac{1}{e} \end{align*} となるので
\begin{align*} \lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{x\in\left[0,1\right]}\left|f_{n}\left(x\right)-f\left(x\right)\right| & \geq\lim_{n\rightarrow\infty}\left|f_{n}\left(1-\frac{1}{n}\right)-f\left(1-\frac{1}{n}\right)\right|\\ & =\frac{1}{e}\\ & \ne0 \end{align*} となり各点収束となる\(f\left(x\right)\)に一様収束しない。
従って、関数列\(\left(f_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)は一様収束しない。
(3)
各点収束
各点収束する関数を\(f\)とすると、\begin{align*} f\left(x\right) & =\lim_{n\rightarrow\infty}f_{n}\left(x\right)\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}nxe^{-nx}\\ & =-\lim_{n\rightarrow\infty}e^{-nx}\\ & =0 \end{align*} となり\(\lim_{n\rightarrow\infty}\left|f_{n}\left(x\right)-O\left(x\right)\right|=0\)となるので、零関数\(O\)に各点収束する。
一様収束
\begin{align*} f_{n}'\left(x\right) & =\left(nxe^{-nx}\right)'\\ & =n\left(1-nx\right)e^{-nx} \end{align*} となり、増減表より\(x=\frac{1}{n}\)で最大になる。この値を使うと、\begin{align*} \lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{x\in\left(0,\infty\right]}\left|f_{n}\left(x\right)-f\left(x\right)\right| & \geq\lim_{n\rightarrow\infty}\left|f_{n}\left(\frac{1}{n}\right)-f\left(\frac{1}{n}\right)\right|\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{1}{e}-0\right|\\ & =\frac{1}{e}\\ & \ne0 \end{align*} となり各点収束となる零関数\(O\)に一様収束しない。
従って、関数列\(\left(f_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)は一様収束しない。
ページ情報
| タイトル | 各点収束するが一様収束しない例 |
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チェザロ総和とチェザロ平均の定義
\[
m_{n}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_{n}
\]
級数が収束するならチェザロ平均の極限は存在
\[
\exists a\in\left[-\infty,\infty\right],\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a\rightarrow\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_{k}=a
\]
一様コーシー列・一様収束列の定義と性質
\[
\forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},\forall x\in I;\left(N\leq m,n\right)\rightarrow d\left(f_{m}\left(x\right),f_{n}\left(x\right)\right)<\epsilon
\]
チェザロ平均と上限・下限・上極限・下極限の大小関係
\[
\limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_{k}\leq\limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n}
\]