合流型超幾何微分方程式の解
合流型超幾何微分方程式の解
合流型超幾何微分方程式
\[ xy''\left(x\right)+\left(b-x\right)y'\left(x\right)-ay\left(x\right)=0 \] の独立な2解は、
\[ \begin{cases} y\left(x\right)=F\left(a;b;x\right)\\ y\left(x\right)=x^{1-b}F\left(a-b+1;2-b;x\right) \end{cases} \] となる。
合流型超幾何微分方程式
\[ xy''\left(x\right)+\left(b-x\right)y'\left(x\right)-ay\left(x\right)=0 \] の独立な2解は、
\[ \begin{cases} y\left(x\right)=F\left(a;b;x\right)\\ y\left(x\right)=x^{1-b}F\left(a-b+1;2-b;x\right) \end{cases} \] となる。
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\(F\left(a;b;x\right)\)は合流型超幾何関数解を
\[ y\left(x\right)=\sum_{k=0}^{\infty}u_{k}x^{k+h} \] と仮定し、\(u_{0}\ne0\)とする。
これを合流型超幾何微分方程式に代入すると、
\begin{align*} 0 & =xy''\left(x\right)+\left(b-x\right)y'\left(x\right)-ay\\ & =x\sum_{k=0}^{\infty}\left(k+c\right)\left(k+h-1\right)u_{k}x^{k+h-2}+\left(b-x\right)\sum_{k=0}^{\infty}\left(k+h\right)u_{k}x^{k+h-1}-a\sum_{k=0}^{\infty}u_{k}x^{k+h}\\ & =\sum_{k=0}^{\infty}\left(k+h\right)\left(k+h-1\right)u_{k}x^{k+h-1}+b\sum_{k=0}^{\infty}\left(k+h\right)u_{k}x^{k+h-1}-\sum_{k=0}^{\infty}\left(k+h\right)u_{k}x^{k+h}-a\sum_{k=0}^{\infty}u_{k}x^{k+h}\\ & =\sum_{k=0}^{\infty}\left(k+h\right)\left(k+b+h-1\right)u_{k}x^{k+h-1}-\sum_{k=0}^{\infty}\left(k+a+h\right)u_{k}x^{k+h}\\ & =\sum_{k=-1}^{\infty}\left(k+h+1\right)\left(k+b+h\right)u_{k+1}x^{k+h}-\sum_{k=0}^{\infty}\left(k+a+h\right)u_{k}x^{k+h}\\ & =h\left(b+h-1\right)u_{0}x^{h-1}+\sum_{k=0}^{\infty}\left(k+h+1\right)\left(k+b+h\right)u_{k+1}x^{k+h}-\sum_{k=0}^{\infty}\left(k+a+h\right)u_{k}x^{k+h}\\ & =h\left(b+h-1\right)u_{0}x^{h-1}+\sum_{k=0}^{\infty}\left(\left(k+h+1\right)\left(k+b+h\right)u_{k+1}-\left(k+a+h\right)u_{k}\right)x^{k+h} \end{align*} となり、これが成り立つには、
\[ \begin{cases} h\left(b+h-1\right)=0\\ u_{k+1}=\frac{\left(k+a+h\right)}{\left(k+h+1\right)\left(k+b+h\right)}u_{k} \end{cases} \] となる。
これより、\(h=0\lor h=1-b\)となり、\(u_{n}\)は、
\begin{align*} u_{n} & =u_{0}\prod_{k=0}^{n-1}\frac{u_{k+1}}{u_{k}}\\ & =u_{0}\prod_{k=0}^{n-1}\frac{\left(k+a+h\right)}{\left(k+h+1\right)\left(k+b+h\right)}\\ & =u_{0}\frac{Q\left(a+h,n\right)}{Q\left(1+h,n\right)Q\left(b+h,n\right)} \end{align*} となるので\(y\left(x\right)\)は、
\begin{align*} y\left(x\right) & =\sum_{k=0}^{\infty}u_{k}x^{k+h}\\ & =u_{0}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{Q\left(a+h,k\right)}{Q\left(1+h,k\right)Q\left(b+h,k\right)}x^{k+h}\\ & =u_{0}x^{h}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{Q\left(a+h,k\right)Q\left(1,k\right)}{Q\left(1+h,k\right)Q\left(b+h,k\right)}\frac{x^{k}}{k!}\\ & =u_{0}x^{h}F\left(1,a+h;1+h,b+h;x\right) \end{align*} となる。
これより、\(h=0\)のとき\(u_{0}=1\)とすると、
\begin{align*} y\left(x\right) & =F\left(1,a;1,b;x\right)\\ & =F\left(a;b;x\right) \end{align*} \(h=1-b\)のとき\(u_{0}=1\)とすると、
\begin{align*} y\left(x\right) & =x^{1-b}F\left(1,a+1-b;2-b,1;x\right)\\ & =x^{1-b}F\left(a-b+1;2-b;x\right) \end{align*} となるので解は
\[ \begin{cases} y\left(x\right)=F\left(a;b;x\right)\\ y\left(x\right)=x^{1-b}F\left(a-b+1;2-b;x\right) \end{cases} \] となり題意は成り立つ。
\[ y\left(x\right)=\sum_{k=0}^{\infty}u_{k}x^{k+h} \] と仮定し、\(u_{0}\ne0\)とする。
これを合流型超幾何微分方程式に代入すると、
\begin{align*} 0 & =xy''\left(x\right)+\left(b-x\right)y'\left(x\right)-ay\\ & =x\sum_{k=0}^{\infty}\left(k+c\right)\left(k+h-1\right)u_{k}x^{k+h-2}+\left(b-x\right)\sum_{k=0}^{\infty}\left(k+h\right)u_{k}x^{k+h-1}-a\sum_{k=0}^{\infty}u_{k}x^{k+h}\\ & =\sum_{k=0}^{\infty}\left(k+h\right)\left(k+h-1\right)u_{k}x^{k+h-1}+b\sum_{k=0}^{\infty}\left(k+h\right)u_{k}x^{k+h-1}-\sum_{k=0}^{\infty}\left(k+h\right)u_{k}x^{k+h}-a\sum_{k=0}^{\infty}u_{k}x^{k+h}\\ & =\sum_{k=0}^{\infty}\left(k+h\right)\left(k+b+h-1\right)u_{k}x^{k+h-1}-\sum_{k=0}^{\infty}\left(k+a+h\right)u_{k}x^{k+h}\\ & =\sum_{k=-1}^{\infty}\left(k+h+1\right)\left(k+b+h\right)u_{k+1}x^{k+h}-\sum_{k=0}^{\infty}\left(k+a+h\right)u_{k}x^{k+h}\\ & =h\left(b+h-1\right)u_{0}x^{h-1}+\sum_{k=0}^{\infty}\left(k+h+1\right)\left(k+b+h\right)u_{k+1}x^{k+h}-\sum_{k=0}^{\infty}\left(k+a+h\right)u_{k}x^{k+h}\\ & =h\left(b+h-1\right)u_{0}x^{h-1}+\sum_{k=0}^{\infty}\left(\left(k+h+1\right)\left(k+b+h\right)u_{k+1}-\left(k+a+h\right)u_{k}\right)x^{k+h} \end{align*} となり、これが成り立つには、
\[ \begin{cases} h\left(b+h-1\right)=0\\ u_{k+1}=\frac{\left(k+a+h\right)}{\left(k+h+1\right)\left(k+b+h\right)}u_{k} \end{cases} \] となる。
これより、\(h=0\lor h=1-b\)となり、\(u_{n}\)は、
\begin{align*} u_{n} & =u_{0}\prod_{k=0}^{n-1}\frac{u_{k+1}}{u_{k}}\\ & =u_{0}\prod_{k=0}^{n-1}\frac{\left(k+a+h\right)}{\left(k+h+1\right)\left(k+b+h\right)}\\ & =u_{0}\frac{Q\left(a+h,n\right)}{Q\left(1+h,n\right)Q\left(b+h,n\right)} \end{align*} となるので\(y\left(x\right)\)は、
\begin{align*} y\left(x\right) & =\sum_{k=0}^{\infty}u_{k}x^{k+h}\\ & =u_{0}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{Q\left(a+h,k\right)}{Q\left(1+h,k\right)Q\left(b+h,k\right)}x^{k+h}\\ & =u_{0}x^{h}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{Q\left(a+h,k\right)Q\left(1,k\right)}{Q\left(1+h,k\right)Q\left(b+h,k\right)}\frac{x^{k}}{k!}\\ & =u_{0}x^{h}F\left(1,a+h;1+h,b+h;x\right) \end{align*} となる。
これより、\(h=0\)のとき\(u_{0}=1\)とすると、
\begin{align*} y\left(x\right) & =F\left(1,a;1,b;x\right)\\ & =F\left(a;b;x\right) \end{align*} \(h=1-b\)のとき\(u_{0}=1\)とすると、
\begin{align*} y\left(x\right) & =x^{1-b}F\left(1,a+1-b;2-b,1;x\right)\\ & =x^{1-b}F\left(a-b+1;2-b;x\right) \end{align*} となるので解は
\[ \begin{cases} y\left(x\right)=F\left(a;b;x\right)\\ y\left(x\right)=x^{1-b}F\left(a-b+1;2-b;x\right) \end{cases} \] となり題意は成り立つ。
ページ情報
| タイトル | 合流型超幾何微分方程式の解 |
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基本的な関数の一般化超幾何関数表示
\[
\left(1+x\right)^{a}=F\left(-a;;-x\right)
\]
幾何級数・超幾何級数・超幾何関数・合流型超幾何関数・一般化超幾何関数の定義
簡単な関数を上昇階乗とべき乗を使って表す
\[
ak+b=b\frac{Q\left(\frac{b}{a}+1,k\right)}{Q\left(\frac{b}{a},k\right)}
\]
一般化超幾何関数の微分と積分
\[
\frac{d}{dx}F\left(\boldsymbol{a};\boldsymbol{b};x\right)=\frac{\prod_{i=1}^{\dim\boldsymbol{a}}a_{i}}{\prod_{j=1}^{\dim\boldsymbol{b}}b_{j}}F\left(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{1};\boldsymbol{b}+\boldsymbol{1};x\right)
\]