第1種・第2種不完全ガンマ関数の整数値
第1種・第2種不完全ガンマ関数の整数値
第1種・第2種不完全ガンマ関数の整数値について次が成り立つ。
\(n\in\mathbb{N}_{0}\)とする。
\[ \Gamma\left(-n,x\right)=-\frac{\left(-1\right)^{n}}{n!}\Ei\left(-x\right)-\frac{\left(-1\right)^{n}}{n!}\cdot\frac{e^{-x}}{x}\sum_{k=0}^{n-1}\left\{ k!\left(-x\right)^{-k}\right\} \] が成り立つ。
\(\Gamma\left(a,x\right)\)は第2種不完全ガンマ関数
\(\Ei\left(x\right)\)は指数積分
第1種・第2種不完全ガンマ関数の整数値について次が成り立つ。
\(n\in\mathbb{N}_{0}\)とする。
(1)
\[ \gamma\left(n+1,x\right)=-e^{-x}\sum_{k=0}^{n}\left(P\left(n,k\right)x^{n-k}\right)+n! \](2)
\[ \Gamma\left(n+1,x\right)=e^{-x}\sum_{k=0}^{n}\left(P\left(n,k\right)x^{n-k}\right) \](3)
\[ \Gamma\left(-n,x\right)=\frac{\left(-1\right)^{n}}{n!}\Gamma\left(0,x\right)-\frac{\left(-1\right)^{n}}{n!}\cdot\frac{e^{-x}}{x}\sum_{k=0}^{n-1}\left\{ k!\left(-x\right)^{-k}\right\} \] \(0<x\)のときは、\[ \Gamma\left(-n,x\right)=-\frac{\left(-1\right)^{n}}{n!}\Ei\left(-x\right)-\frac{\left(-1\right)^{n}}{n!}\cdot\frac{e^{-x}}{x}\sum_{k=0}^{n-1}\left\{ k!\left(-x\right)^{-k}\right\} \] が成り立つ。
-
\(\gamma\left(a,x\right)\)は第1種不完全ガンマ関数\(\Gamma\left(a,x\right)\)は第2種不完全ガンマ関数
\(\Ei\left(x\right)\)は指数積分
(1)
\begin{align*} \gamma\left(2,x\right) & =-e^{-x}\sum_{k=0}^{1}\left(P\left(1,k\right)x^{1-k}\right)+1!\\ & =-e^{-x}\left(x+1\right)+1 \end{align*}(2)
\begin{align*} \gamma\left(3,x\right) & =-e^{-x}\sum_{k=0}^{2}\left(P\left(2,k\right)x^{2-k}\right)+2!\\ & =-e^{-x}\left(x^{2}+2x+2\right)+2 \end{align*}(3)
\begin{align*} \Gamma\left(2,x\right) & =e^{-x}\sum_{k=0}^{1}\left(P\left(1,k\right)x^{1-k}\right)\\ & =-e^{-x}\left(x+1\right) \end{align*}(4)
\begin{align*} \Gamma\left(3,x\right) & =e^{-x}\sum_{k=0}^{3}\left(P\left(1,k\right)x^{1-k}\right)\\ & =-e^{-x}\left(x^{2}+2x+2\right) \end{align*}(1)(2)
\(\Gamma_{-}\left(n+1,x\right)=\gamma\left(n+1,x\right),\Gamma_{+}\left(n+1,x\right)=\Gamma\left(n+1,x\right)\)とする。不完全ガンマ関数の漸化式より、
\begin{align*} \Gamma_{\mp}\left(n+1,x\right) & =n\Gamma_{\mp}\left(n,x\right)\mp x^{n}e^{-x}\\ & =\Gamma\left(n+1\right)\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{\Gamma_{\mp}\left(k+1,x\right)}{\Gamma\left(k+1\right)}-\frac{\Gamma_{\mp}\left(k,x\right)}{\Gamma\left(k\right)}\right)+\Gamma\left(n+1\right)\Gamma_{\mp}\left(1,x\right)\\ & =\Gamma\left(n+1\right)\sum_{k=1}^{n}\left(\mp\frac{x^{k}e^{-x}}{\Gamma\left(k+1\right)}\right)+\Gamma\left(n+1\right)\Gamma_{\mp}\left(1,x\right)\\ & =\mp e^{-x}\sum_{k=1}^{n}\left(P\left(n,n-k\right)x^{k}\right)+\Gamma\left(n+1\right)\Gamma_{\mp}\left(1,x\right)\\ & =\mp e^{-x}\sum_{k=1}^{n}\left(P\left(n,k-1\right)x^{n+1-k}\right)+n!\Gamma_{\mp}\left(1,x\right)\\ & =\mp e^{-x}\sum_{k=0}^{n-1}\left(P\left(n,k\right)x^{n-k}\right)+n!\Gamma_{\mp}\left(1,x\right) \end{align*} ここで、
\begin{align*} \Gamma_{-}\left(1,x\right) & =\gamma\left(1,x\right)\\ & =\int_{0}^{x}x^{1-1}e^{-x}dx\\ & =\left[-e^{-x}\right]_{0}^{x}\\ & =-e^{-x}+1 \end{align*} \begin{align*} \Gamma_{+}\left(1,x\right) & =\Gamma\left(1,x\right)\\ & =\int_{x}^{\infty}x^{1-1}e^{-x}dx\\ & =\left[-e^{-x}\right]_{x}^{\infty}\\ & =e^{-x} \end{align*} であるので、
\begin{align*} \gamma\left(n+1,x\right) & =\Gamma_{-}\left(n+1,x\right)\\ & =-e^{-x}\sum_{k=0}^{n-1}\left(P\left(n,k\right)x^{n-k}\right)+n!\Gamma_{-}\left(1,x\right)\\ & =-e^{-x}\sum_{k=0}^{n-1}\left(P\left(n,k\right)x^{n-k}\right)+n!\left(-e^{-x}+1\right)\\ & =-e^{-x}\sum_{k=0}^{n}\left(P\left(n,k\right)x^{n-k}\right)+n! \end{align*} \begin{align*} \Gamma\left(n+1,x\right) & =\Gamma_{+}\left(n+1,x\right)\\ & =e^{-x}\sum_{k=0}^{n-1}\left(P\left(n,k\right)x^{n-k}\right)+n!\Gamma_{+}\left(1,x\right)\\ & =e^{-x}\sum_{k=0}^{n-1}\left(P\left(n,k\right)x^{n-k}\right)+n!e^{-x}\\ & =e^{-x}\sum_{k=0}^{n}\left(P\left(n,k\right)x^{n-k}\right) \end{align*}
(3)
第2種不完全ガンマ関数の漸化式\[ \Gamma\left(a+1,x\right)=a\Gamma\left(a,x\right)+x^{a}e^{-x} \] より、\(a\rightarrow-a\)として移項すると
\[ -a\Gamma\left(-a,x\right)-\Gamma\left(-\left(a-1\right),x\right)=-x^{-a}e^{-x} \] となり、両辺に\(\left(-1\right)^{a}a!\)を掛けると、
\[ \left(-1\right)^{a}a!\Gamma\left(-a,x\right)-\left(-1\right)^{a-1}\left(a-1\right)!\Gamma\left(-\left(a-1\right),x\right)=\left(-1\right)^{a}\left(a-1\right)!x^{-a}e^{-x}\mrk* \] となる。
これを使うと、
\begin{align*} \Gamma\left(-n,x\right) & =\frac{\left(-1\right)^{n}}{n!}\Gamma\left(0,x\right)+\frac{\left(-1\right)^{n}}{n!}\sum_{k=1}^{n}\left\{ \left(-1\right)^{k}k!\Gamma\left(-k,x\right)-\left(-1\right)^{k-1}\left(k-1\right)!\Gamma\left(-\left(k-1\right),x\right)\right\} \\ & =\frac{\left(-1\right)^{n}}{n!}\Gamma\left(0,x\right)+\frac{\left(-1\right)^{j}}{n!}\sum_{k=1}^{n}\left\{ \left(-1\right)^{k}\left(k-1\right)!x^{-k}e^{-x}\right\} \\ & =\frac{\left(-1\right)^{n}}{n!}\Gamma\left(0,x\right)+\frac{\left(-1\right)^{n}}{n!}e^{-x}\sum_{k=1}^{n}\left\{ \left(k-1\right)!\left(-x\right)^{-k}\right\} \\ & =\frac{\left(-1\right)^{n}}{n!}\Gamma\left(0,x\right)+\frac{\left(-1\right)^{n}}{n!}e^{-x}\sum_{k=0}^{n-1}\left\{ k!\left(-x\right)^{-\left(k+1\right)}\right\} \\ & =\frac{\left(-1\right)^{n}}{n!}\Gamma\left(0,x\right)-\frac{\left(-1\right)^{n}}{n!}\cdot\frac{e^{-x}}{x}\sum_{k=0}^{n-1}\left\{ k!\left(-x\right)^{-k}\right\} \end{align*} となる。
\(0<x\)のとき
\(0<x\)のときは、\[ \Gamma\left(0,x\right)=-\Ei\left(-x\right) \] となるので、
\begin{align*} \Gamma\left(-n,x\right) & =\frac{\left(-1\right)^{n}}{n!}\Gamma\left(0,x\right)-\frac{\left(-1\right)^{n}}{n!}\cdot\frac{e^{-x}}{x}\sum_{k=0}^{n-1}\left\{ k!\left(-x\right)^{-k}\right\} \\ & =-\frac{\left(-1\right)^{n}}{n!}\Ei\left(-x\right)-\frac{\left(-1\right)^{n}}{n!}\cdot\frac{e^{-x}}{x}\sum_{k=0}^{n-1}\left\{ k!\left(-x\right)^{-k}\right\} \end{align*} となる。
補足
第1種不完全ガンマ関数で同じことをすると次のようになる。漸化式
\[ \gamma\left(a+1,x\right)=a\gamma\left(a,x\right)-x^{a}e^{-x} \] より、\(a\rightarrow-a\)として移項すると、
\[ \gamma\left(-\left(a-1\right),x\right)-a\gamma\left(-a,x\right)=-x^{-a}e^{-x} \] となり、両辺に\(\left(-1\right)^{a-1}\left(a-1\right)!\)を掛けると、
\[ \left(-1\right)^{a}a!\gamma\left(-a,x\right)-\left(-1\right)^{a-1}\left(a-1\right)!\gamma\left(-\left(a-1\right),x\right)=-\left(-1\right)^{a}\left(a-1\right)!x^{-a}e^{-x} \] となる。
これを使うと、
\begin{align*} \gamma\left(-n,x\right) & =\gamma\left(0,x\right)+\frac{\left(-1\right)^{n}}{n!}\sum_{k=1}^{n}\left\{ \left(-1\right)^{k}k!\gamma\left(-k,x\right)-\left(-1\right)^{k-1}\left(k-1\right)!\gamma\left(-\left(k-1\right),x\right)\right\} \\ & =\gamma\left(0,x\right)+\frac{\left(-1\right)^{n}}{n!}\sum_{k=1}^{n}\left\{ -\left(-1\right)^{k}\left(k-1\right)!x^{-k}e^{-x}\right\} \\ & =\gamma\left(0,x\right)-\frac{\left(-1\right)^{n}}{n!}e^{-x}\sum_{k=1}^{n}\left(k-1\right)!\left(-x\right)^{-k}\\ & =\gamma\left(0,x\right)-\frac{\left(-1\right)^{n}}{n!}e^{-x}\sum_{k=0}^{n-1}k!\left(-x\right)^{-\left(k+1\right)}\\ & =\gamma\left(0,x\right)+\frac{\left(-1\right)^{n}}{n!}\cdot\frac{e^{-x}}{x}\sum_{k=0}^{n-1}k!\left(-x\right)^{-k} \end{align*} となる。
しかし、
\begin{align*} \gamma\left(-n,x\right) & =\int_{0}^{x}t^{-n-1}e^{-t}dt\\ & =\infty \end{align*} であるのでこの式は使えません。
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| タイトル | 第1種・第2種不完全ガンマ関数の整数値 |
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ディガンマ関数・ポリガンマ関数の級数表示・テイラー展開と調和数・一般化調和数
\[
\psi\left(z\right)=-\gamma+H_{z-1}
\]
ポリガンマ関数同士の差の極限
\[
\lim_{z\rightarrow0}\left(\psi^{\left(n\right)}\left(z-m\right)-\psi^{\left(n\right)}\left(z\right)\right)=n!H_{m,n+1}
\]
不完全ガンマ関数とガンマ関数との関係
\[
\gamma\left(a,x\right)+\Gamma\left(a,x\right)=\Gamma\left(a\right)
\]
ガンマ関数の微分
\[
\frac{d}{dz}\Gamma(z)=\Gamma(z)\psi(z)
\]