幾何級数・超幾何級数・超幾何関数・合流型超幾何関数・一般化超幾何関数の定義
幾何級数・超幾何級数・超幾何関数・合流型超幾何関数・一般化超幾何関数の定義
幾何級数・超幾何級数・超幾何関数・一般化超幾何関数を次で定義する。
級数\(\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}t^{k}\)の隣り合う2項の比が一定である級数を幾何級数または等比級数という。
\[ F\left(a,b;c;x\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{Q\left(a,k\right)Q\left(b,k\right)}{Q\left(c,k\right)}\frac{x^{k}}{k!} \]
\[ F\left(a;b;x\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{Q\left(a,k\right)}{Q\left(b,k\right)}\frac{x^{k}}{k!} \]
\[ F\left(a_{1},\cdots,a_{m};b_{1},\cdots,b_{n};x\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\prod_{i=1}^{m}Q\left(a_{i},k\right)}{\prod_{j=1}^{n}Q\left(b_{j},k\right)}\frac{x^{k}}{k!} \]
幾何級数・超幾何級数・超幾何関数・一般化超幾何関数を次で定義する。
(1)幾何級数(等比級数)
等比級数と同じである。級数\(\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}t^{k}\)の隣り合う2項の比が一定である級数を幾何級数または等比級数という。
(2)超幾何級数
級数\(\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}t^{k}\)の隣り合う2項の比が有理関数であるとき超幾何級数という。(3)超幾何関数
次で表される\(F\left(a,b;c;x\right)\)を超幾何関数という。\[ F\left(a,b;c;x\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{Q\left(a,k\right)Q\left(b,k\right)}{Q\left(c,k\right)}\frac{x^{k}}{k!} \]
(4)合流型超幾何関数
次で表される\(F\left(a,b;x\right)\)を合流型超幾何関数という。\[ F\left(a;b;x\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{Q\left(a,k\right)}{Q\left(b,k\right)}\frac{x^{k}}{k!} \]
(5)一般化超幾何関数
次で表される\(F\left(a_{1},\cdots,a_{m};b_{1},\cdots,b_{n};x\right)\)を一般化超幾何関数という。\[ F\left(a_{1},\cdots,a_{m};b_{1},\cdots,b_{n};x\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\prod_{i=1}^{m}Q\left(a_{i},k\right)}{\prod_{j=1}^{n}Q\left(b_{j},k\right)}\frac{x^{k}}{k!} \]
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| タイトル | 幾何級数・超幾何級数・超幾何関数・合流型超幾何関数・一般化超幾何関数の定義 |
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一般化超幾何関数の微分と積分
\[
\frac{d}{dx}F\left(\boldsymbol{a};\boldsymbol{b};x\right)=\frac{\prod_{i=1}^{\dim\boldsymbol{a}}a_{i}}{\prod_{j=1}^{\dim\boldsymbol{b}}b_{j}}F\left(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{1};\boldsymbol{b}+\boldsymbol{1};x\right)
\]
簡単な関数を上昇階乗とべき乗を使って表す
\[
ak+b=b\frac{Q\left(\frac{b}{a}+1,k\right)}{Q\left(\frac{b}{a},k\right)}
\]
基本的な関数の一般化超幾何関数表示
\[
\left(1+x\right)^{a}=F\left(-a;;-x\right)
\]
超幾何微分方程式(ガウスの微分方程式)の解
\[
x\left(1-x\right)y''\left(x\right)+\left(c-\left(a+b+1\right)x\right)y'\left(x\right)-aby\left(x\right)=0
\]