(1)

1次独立性

\(\boldsymbol{x}\in K^{n}\)を列ベクトルとして\(\left(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\right)\boldsymbol{x}=0\)が自明な解のみをもつことと、\(\det\left(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\right)\ne0\)は同値である。
また、\(\left(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\right)\boldsymbol{x}=0\)が自明な解のみをもつことと、\(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\)が1次独立であることは同値である。
これより、\(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\)が1次独立であることと、\(\det\left(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\right)\ne0\)は同値である。
故に題意は成り立つ。

全域性

任意の列ベクトル\(\boldsymbol{x}\in K^{n}\)に対し、ある\(\boldsymbol{c}\in K^{n}\)が存在し、
\[ \sum_{k=1}^{n}c_{k}\boldsymbol{a}_{k}=\boldsymbol{x} \] を満たせば全域性が示される。
これは、
\begin{align*} \boldsymbol{x} & =\sum_{k=1}^{n}c_{k}\boldsymbol{a}_{k}\\ & =\left(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\right)\left(\begin{array}{c} c_{1}\\ c_{2}\\ \vdots\\ c_{n} \end{array}\right) \end{align*} となるので、\(\det\left(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\right)\ne0\)なので、\(\left(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\right)\)は逆行列が存在するので、
\[ \left(\begin{array}{c} c_{1}\\ c_{2}\\ \vdots\\ c_{n} \end{array}\right)=\left(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\right)^{-1}\boldsymbol{x} \] となるので全域性が示された。

-

これらより、\(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\)の1次独立性・全域性が成り立っているので、\(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\)は基底となる。

(2)

(a)\(\Rightarrow\)(b),(c)

基底であるとき、1次独立かつ全域性を満たすので明らかに成り立つ。

(b)\(\Rightarrow\)(a)

\(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\)は仮定より1次独立であり、任意のベクトル\(\boldsymbol{a}\in V\)について、\(n+1\)個のベクトル\(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n},\boldsymbol{a}\)は\(\dim V=n\)より1次従属となる。
これより、\(\boldsymbol{a}\)は\(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\)の1次結合で表される。
従って、任意のベクトル\(\boldsymbol{a}\in V\)は\(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\)の1次結合で表されるので全域性を満たす。
これより、\(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\)は1次独立かつ全域性を満たすので\(V\)の基底でなる。

(c)\(\Rightarrow\)(a)

\(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\)で1次独立なベクトルの最大個数を\(m<n\)とする。
ここで順番を入れ替えて\(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{m}\)が1次独立になるようにする。
このとき、任意の\(k\in\left\{ m+1,m+2,\cdots,n\right\} \)について、\(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{m},\boldsymbol{a}_{k}\)は1次従属となり\(\boldsymbol{a}_{k}\)は\(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{m}\)の1次結合で表される。
従って、\(\boldsymbol{a}_{m+1},\boldsymbol{a}_{m+1},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\)は\(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{m}\)の1次結合で表されるので、\(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{m}\)は全域性を満たす。
これより、\(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{m}\)は1次独立かつ全域性を満たすので基底となるが、\(\dim V=m\ne n\)であり矛盾するので背理法より、\(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\)は1次独立となる。
従って、\(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\)は1次独立かつ全域性を満たすので\(V\)の基底となる。

これらより、(a),(b),(c)は同値となる。

(3)

\(\Rightarrow\)

\(\boldsymbol{b}_{1},\boldsymbol{b}_{2},\cdots,\boldsymbol{b}_{n}\)が基底であるとき、\(D\)を\(n\times n\)行列として、
\[ \left(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\right)=\left(\boldsymbol{b}_{1},\boldsymbol{b}_{2},\cdots,\boldsymbol{b}_{n}\right)D \] と表される。
これより、
\begin{align*} \left(\boldsymbol{b}_{1},\boldsymbol{b}_{2},\cdots,\boldsymbol{b}_{n}\right) & =\left(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\right)C\\ & =\left(\boldsymbol{b}_{1},\boldsymbol{b}_{2},\cdots,\boldsymbol{b}_{n}\right)DC \end{align*} となるので、\(DC=I\)となる。
同様に、
\begin{align*} \left(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\right) & =\left(\boldsymbol{b}_{1},\boldsymbol{b}_{2},\cdots,\boldsymbol{b}_{n}\right)D\\ & =\left(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\right)CD \end{align*} となるので、\(CD=I\)となる。
従って、\(C=D^{-1}\)となり\(C\)は逆行列をもつので、\(C\)は正則となる。
故に\(\Rightarrow\)が成り立つ。

\(\Leftarrow\)

\(C\)が正則であるとき、逆行列\(C^{-1}\)が存在する。
これより、
\[ \left(\boldsymbol{b}_{1},\boldsymbol{b}_{2},\cdots,\boldsymbol{b}_{n}\right)C^{-1}=\left(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\right) \] となり、任意の\(\boldsymbol{a}\in\left\{ \boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\right\} \)は\(\boldsymbol{b}_{1},\boldsymbol{b}_{2},\cdots,\boldsymbol{b}_{n}\)の1次結合で表されるので全域性が満たされる。
また、\(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\)は基底より\(\dim V=n\)となり、\(\boldsymbol{b}_{1},\boldsymbol{b}_{2},\cdots,\boldsymbol{b}_{n}\)は\(n\)個である。
従って、\(\boldsymbol{b}_{1},\boldsymbol{b}_{2},\cdots,\boldsymbol{b}_{n}\)は基底となり\(\Leftarrow\)が成り立つ。

\(\Leftrightarrow\)

これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので、\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。

(4)

\(V\)は\(n\)次元ベクトル空間なので、ある基底\(\boldsymbol{b}_{1},\boldsymbol{b}_{2},\cdots,\boldsymbol{b}_{n}\)が存在する。
ここで、ベクトル\(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{m},\boldsymbol{b}_{1},\boldsymbol{b}_{2},\cdots,\boldsymbol{b}_{n}\)から1次独立なものをこの順番で選んでいき、そうして選んだものを\(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{m},\boldsymbol{b}_{k_{1}},\boldsymbol{b}_{k_{2}},\cdots,\boldsymbol{b}_{k_{s}}\)とする。
このとき、選ばれなかった基底\(\boldsymbol{b}_{j}\)については選ばれた\(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{m},\boldsymbol{b}_{k_{1}},\boldsymbol{b}_{k_{2}},\cdots,\boldsymbol{b}_{k_{s}}\)の1次結合で表すことができる。
従って、\(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{m},\boldsymbol{b}_{k_{1}},\boldsymbol{b}_{k_{2}},\cdots,\boldsymbol{b}_{k_{s}}\)は1次独立かつ全域性を満たすので、\(V\)の基底となる。
また、\(\dim V=n\)なので\(m+s=n\)となり、\(\boldsymbol{b}_{k_{1}},\boldsymbol{b}_{k_{2}},\cdots,\boldsymbol{b}_{k_{s}}\)を\(\boldsymbol{a}_{m+1},\boldsymbol{a}_{m+2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\)とすれば\(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{m},\boldsymbol{a}_{m+1},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\)が基底となるようにできる。
故に題意は成り立つ。