(1)

異なる零ベクトルが\(\boldsymbol{0},\boldsymbol{0}'\in V\)の2つあると仮定する。
そうすると、
\begin{align*} \boldsymbol{0}' & =\boldsymbol{0}'+\boldsymbol{0}\\ & =\boldsymbol{0} \end{align*} となり、\(\boldsymbol{0},\boldsymbol{0}'\)は異なるという仮定に反する。
従って背理法より零ベクトルは一意的である。

(2)

異なる逆ベクトルが\(-\boldsymbol{x},-\boldsymbol{x}'\in V\)の2つあると仮定する。
そうすると、
\begin{align*} -\boldsymbol{x}' & =\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}'\\ & =\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}'-\boldsymbol{x}\\ & =-\boldsymbol{x} \end{align*} となり、\(-\boldsymbol{x},-\boldsymbol{x}'\)は異なるという仮定に反する。
従って背理法より逆ベクトルは一意的である。

(3)

\begin{align*} 0\boldsymbol{x} & =0\boldsymbol{x}+0\boldsymbol{x}-0\boldsymbol{x}\\ & =\left(0+0\right)\boldsymbol{x}-0\boldsymbol{x}\\ & =0\boldsymbol{x}-0\boldsymbol{x}\\ & =\boldsymbol{0}_{V} \end{align*} となるので題意は成り立つ。

(4)

\begin{align*} a\boldsymbol{0}_{V} & =a\left(\boldsymbol{0}_{V}-\boldsymbol{0}_{V}\right)\\ & =a\boldsymbol{0}_{V}-a\boldsymbol{0}_{V}\\ & =\boldsymbol{0}_{V} \end{align*} となるので題意は成り立つ。

(5)

\(a=0\)のときは\(a\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}_{V}\)が成り立つ。
\(a\ne0\)のときは\(a\)の逆元\(a^{-1}\in K\)が存在するので
\begin{align*} \boldsymbol{x} & =\left(a^{-1}a\right)\boldsymbol{x}\\ & =a^{-1}\left(a\boldsymbol{x}\right)\\ & =a^{-1}\boldsymbol{0}_{V}\\ & =\boldsymbol{0}_{V} \end{align*} となる。
従って、\(a=0\)または\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}_{V}\)となる。