行列の定義
\(K\)を体として、\(a_{i,j}\in K\)とする。
ここで\(i,j\)は\(i\in\left\{ 1,2,\cdots m\right\} ,j\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} \)とする。
このとき、行列\(A\)は\(A=\left(a_{i,j}\right)\)とすると、\(A\)は\(a_{i,j}\)を縦に\(m\)個、横に\(n\)個並べて、
\begin{align*} A & =\left(a_{i,j}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cccc} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & 1_{1,n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m,1} & a_{m,1} & \cdots & a_{m.n} \end{array}\right) \end{align*} としたものであり、これを\(m\times n\)行列という。
また、体\(K\)上の\(m\times n\)行列全体を\(M_{m\times n}\left(K\right),K^{m\times n}\)などで表す。
横の並びを行、縦の並びを列といい、\(j\)行目\(k\)列目の要素のことを\(\left(j,k\right)\)成分といいその値は\(a_{j,k}\)となります。
行列にサイズを記載して\(A_{m\times n},\left(a_{i,j}\right)_{m\times n}\)のように表したりもします。