同値類・商集合・商写像の定義
同値類・商集合・商写像の定義
すなわち、
\[ C\left(a\right)=\left\{ x\in X;a\sim x\right\} \] である。
すなわち、
\[ X/\sim=\left\{ C\left(a\right);a\in X\right\} \] である。
このとき、写像\(f:X\rightarrow X/\sim,x\mapsto C\left(x\right)\)を商写像という。
写像\(f\)は全射となる。
または、\(x,y\in A\)として\(x\ne y\)ならば\(C\left(x\right)\cap C\left(y\right)\ne\emptyset\)でも同じである。
(1)同値類
集合\(X\)上に同値関係\(\sim\)が与えられているとき、\(a\in X\)と同値関係(反射律・対称律・推移律)にある元全体の集合を\(C\left(a\right)\)で表しこれを同値類という。すなわち、
\[ C\left(a\right)=\left\{ x\in X;a\sim x\right\} \] である。
(2)商集合
集合\(X\)上に同値関係\(\sim\)が与えられているとき、同値類全体の集合を\(X/\sim\)で表し、\(X\)の\(\sim\)による商集合という。すなわち、
\[ X/\sim=\left\{ C\left(a\right);a\in X\right\} \] である。
(3)商写像
集合\(X\)と同値関係\(\sim\)が与えられているとする。このとき、写像\(f:X\rightarrow X/\sim,x\mapsto C\left(x\right)\)を商写像という。
写像\(f\)は全射となる。
(4)完全代表系
集合\(X\)上に同値関係\(\sim\)があり、\(X\)の部分集合\(A\subseteq X\)が次を満たすとき、\(A\)を\(X/\sim\)の完全代表系という。(a)
\[ X/\sim=\left\{ C\left(x\right);x\in A\right\} \](b)
\(x,y\in A\)として、\(x\ne y\)ならば\(C\left(x\right)\ne C\left(y\right)\)となる。または、\(x,y\in A\)として\(x\ne y\)ならば\(C\left(x\right)\cap C\left(y\right)\ne\emptyset\)でも同じである。
-
同値類\(C\left(a\right)\)は\(\left[a\right]\)や\(C_{a}\)で表されることもある。-
商写像\(f:X\rightarrow X/\sim,x\mapsto C\left(x\right)\)は\(X/\sim\)の任意の元\(C\left(x\right)\)に対し、\(f\left(x\right)=C\left(x\right)\)となるので全射となる。-
商写像を自然な全射や標準全射ともいう。整数\(\mathbb{Z}\)上で同値関係として素数\(p\)を法とする合同関係\(\overset{p}{\equiv}\)は同値関係となり、同値類は
\[ C\left(n\right)=\left\{ n+mp;m\in\mathbb{Z}\right\} \] となる。
この同値類を法\(p\)に関する剰余類という。
このとき商集合は、
\[ \left(\mathbb{Z}/\overset{p}{\equiv}\right)=\left\{ C\left(0\right),C\left(1\right),\cdots,C\left(p-1\right)\right\} \] となり、この商集合\(\mathbb{Z}/\overset{p}{\equiv}\)は法\(p\)に関する剰余環といい\(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\)で表される。
また、商写像\(f\)は
\[ f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}/p\mathbb{Z},x\mapsto C\left(x\right) \] となる。
このとき、\(\mathbb{Z}/\overset{p}{\equiv}\)の完全代表系は、
\[ \left(\mathbb{Z}/\overset{p}{\equiv}\right)=\left\{ C\left(x\right);x\in\left\{ 0,1,2,\cdots,p-1\right\} \right\} \] であり、\(x,y\in\left\{ 0,1,2,\cdots,p-1\right\} \)として\(x\ne y\)ならば\(C\left(x\right)\ne C\left(y\right)\)となるので、\(0,1,2,\cdots,p-1\)は完全代表系となる。
\[ C\left(n\right)=\left\{ n+mp;m\in\mathbb{Z}\right\} \] となる。
この同値類を法\(p\)に関する剰余類という。
このとき商集合は、
\[ \left(\mathbb{Z}/\overset{p}{\equiv}\right)=\left\{ C\left(0\right),C\left(1\right),\cdots,C\left(p-1\right)\right\} \] となり、この商集合\(\mathbb{Z}/\overset{p}{\equiv}\)は法\(p\)に関する剰余環といい\(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\)で表される。
また、商写像\(f\)は
\[ f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}/p\mathbb{Z},x\mapsto C\left(x\right) \] となる。
このとき、\(\mathbb{Z}/\overset{p}{\equiv}\)の完全代表系は、
\[ \left(\mathbb{Z}/\overset{p}{\equiv}\right)=\left\{ C\left(x\right);x\in\left\{ 0,1,2,\cdots,p-1\right\} \right\} \] であり、\(x,y\in\left\{ 0,1,2,\cdots,p-1\right\} \)として\(x\ne y\)ならば\(C\left(x\right)\ne C\left(y\right)\)となるので、\(0,1,2,\cdots,p-1\)は完全代表系となる。
ページ情報
| タイトル | 同値類・商集合・商写像の定義 |
| URL | https://www.nomuramath.com/olflap4p/ |
| SNSボタン |
ブロック対角行列の固有多項式と固有値
\[
p_{A}\left(\lambda\right)=\prod_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,r\right\} }p_{A_{k}}\left(\lambda\right)
\]
ブロック対角行列の逆行列
\[
\left(\begin{array}{cccc}
A_{1,1} & O & \cdots & O\\
O & A_{2,2} & \ddots & O\\
\vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\
O & O & \cdots & A_{p,p}
\end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{cccc}
A_{1,1}^{-1} & O & \cdots & O\\
O & A_{2,2}^{-1} & \ddots & O\\
\vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\
O & O & \cdots & A_{p,p}^{-1}
\end{array}\right)
\]
対称ブロック分けのトーレス
\[
\tr\left(\begin{array}{cccc}
A_{1,1} & A_{1,2} & \cdots & A_{1,p}\\
A_{2,1} & A_{2,2} & \ddots & A_{2,p}\\
\vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\
A_{p,1} & A_{p,2} & \cdots & A_{p,p}
\end{array}\right)=\sum_{k=1}^{p}\tr\left(A_{k,k}\right)
\]
ブロック対角行列の和・積・べき乗
\[
\left(\begin{array}{cccc}
A_{11} & O & \cdots & O\\
O & A_{22} & \ddots & O\\
\vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\
O & O & \cdots & A_{pp}
\end{array}\right)^{k}=\left(\begin{array}{cccc}
A_{11}^{k} & O & \cdots & O\\
O & A_{22}^{k} & \ddots & O\\
\vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\
O & O & \cdots & A_{pp}^{k}
\end{array}\right)
\]