正n角形の面積
正n角形の面積
1辺が\(a\)の正\(n\)角形の面積\(S\)は
\[ S=\frac{na^{2}}{4\tan\frac{\pi}{n}} \] となる。
1辺が\(a\)の正\(n\)角形の面積\(S\)は
\[ S=\frac{na^{2}}{4\tan\frac{\pi}{n}} \] となる。
正\(n\)角形の面積\(S\)を\(R\)を用いて表すと、
\begin{align*} S_{n} & =n\cdot\frac{1}{2}R^{2}\sin\frac{2\pi}{n}\\ & =\frac{nR^{2}}{2}\sin\frac{2\pi}{n} \end{align*} ここで\(n\rightarrow\infty\)とすると、正\(n\)角形は円になり、
\begin{align*} S_{\infty} & =\lim_{n\rightarrow\infty}S_{n}\\ & =\frac{R^{2}}{2}\lim_{n\rightarrow\infty}n\sin\frac{2\pi}{n}\\ & =\pi R^{2}\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sin\frac{2\pi}{n}}{\frac{2\pi}{n}}\\ & =\pi R^{2} \end{align*} 円の面積になる。
\begin{align*} S_{n} & =n\cdot\frac{1}{2}R^{2}\sin\frac{2\pi}{n}\\ & =\frac{nR^{2}}{2}\sin\frac{2\pi}{n} \end{align*} ここで\(n\rightarrow\infty\)とすると、正\(n\)角形は円になり、
\begin{align*} S_{\infty} & =\lim_{n\rightarrow\infty}S_{n}\\ & =\frac{R^{2}}{2}\lim_{n\rightarrow\infty}n\sin\frac{2\pi}{n}\\ & =\pi R^{2}\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sin\frac{2\pi}{n}}{\frac{2\pi}{n}}\\ & =\pi R^{2} \end{align*} 円の面積になる。
1辺が\(a\)の正\(n\)角形の面積一覧
\[ \begin{array}{|c|c|} \hline n & S=\frac{na^{2}}{4\tan\frac{\pi}{n}}\\ \hline 2 & 0\\ \hline 3 & \frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}\\ \hline 4 & a^{2}\\ \hline 5 & \frac{5}{4}\sqrt{1+\frac{2\sqrt{5}}{5}}a^{2}\\ \hline 6 & \frac{3\sqrt{3}}{2}a^{2}\\ \hline 10 & \frac{5}{2}\sqrt{5+2\sqrt{5}}a^{2}\\ \hline 12 & 3\left(2+\sqrt{3}\right)a^{2} \\\hline \end{array} \]
\[ \begin{array}{|c|c|} \hline n & S=\frac{na^{2}}{4\tan\frac{\pi}{n}}\\ \hline 2 & 0\\ \hline 3 & \frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}\\ \hline 4 & a^{2}\\ \hline 5 & \frac{5}{4}\sqrt{1+\frac{2\sqrt{5}}{5}}a^{2}\\ \hline 6 & \frac{3\sqrt{3}}{2}a^{2}\\ \hline 10 & \frac{5}{2}\sqrt{5+2\sqrt{5}}a^{2}\\ \hline 12 & 3\left(2+\sqrt{3}\right)a^{2} \\\hline \end{array} \]
正\(n\)角形は外接円をもつのでその中心を\(O\)とする。
その中心\(O\)と正\(n\)角形の各頂点を結ぶと\(n\)個の2等辺3角形ができる。
2等辺3角形の1つを左回りに3角形\(OAB\)として、\(O\)から辺\(AB\)に下した垂線を\(H\)とする。
中心角は\(\frac{2\pi}{n}\)なので、この外接円の半径\(R\)は、
\begin{align*} R & =\frac{\left|\overrightarrow{BO}\right|}{\left|\overrightarrow{HB}\right|}\cdot\left|\overrightarrow{HB}\right|\\ & =\frac{\left|\overrightarrow{HB}\right|}{\cos\left(\angle HBO\right)}\\ & =\frac{\left|\overrightarrow{HB}\right|}{\sin\left(\angle BOH\right)}\\ & =\frac{a}{2\sin\frac{\pi}{n}} \end{align*} となる。これより面積\(S\)は3角形\(OAB\)が\(n\)個分になるので、
\begin{align*} S & =n\cdot\frac{1}{2}R^{2}\sin\frac{2\pi}{n}\\ & =\frac{na^{2}}{2^{3}\sin^{2}\frac{\pi}{n}}\sin\frac{2\pi}{n}\\ & =\frac{na^{2}}{2^{3}\sin^{2}\frac{\pi}{n}}2\sin\frac{\pi}{n}\cos\frac{\pi}{n}\\ & =\frac{na^{2}}{4\tan\frac{\pi}{n}} \end{align*} となり与式は成り立つ。
ページ情報
| タイトル | 正n角形の面積 |
| URL | https://www.nomuramath.com/oiv5prn6/ |
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重心・垂心・外心の関係
\[
\boldsymbol{H}+2\boldsymbol{J}=3\boldsymbol{G}
\]
4角形の対角線と面積の関係
\[
S=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{DB}\right)
\]
第1余弦定理と第2余弦定理
\[
a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A
\]
オイラーの定理
\[
p^{2}q^{2}=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}-2abcd\cos\left(A+C\right)
\]