(0)

\(n\)角形\(A_{1}A_{2}\cdots A_{n}\)の内心を\(I\)、辺\(A_{k}A_{k+1}\)の長さを\(a_{k}\)とする。\(A_{n+1}=A_{1}\)とする。
\begin{align*} S & =\left|A_{1}A_{2}\cdots A_{n}\right|\\ & =\sum_{k=1}^{n}\left|A_{k}A_{k+1}I\right|\\ & =\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2}ra_{k}\\ & =rs \end{align*} これより、
\[ r=\frac{S}{s} \] となる。

(0)-2

3角形の場合
\(\triangle ABC\)の内心を\(I\)、頂点\(A,B,C\)の対辺を\(a,b,c\)とする。
\begin{align*} S & =\left|ABC\right|\\ & =\left|ABI\right|+\left|BCI\right|+\left|CAI\right|\\ & =\frac{1}{2}cr+\frac{1}{2}ar+\frac{1}{2}br\\ & =\frac{r}{2}\left(a+b+c\right)\\ & =rs \end{align*} これより、
\[ r=\frac{S}{s} \] となる。