(1)

\(\dim V=m,\dim W=n\)として、\(V\)の基底を\(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{m}\)、\(W\)の基底を\(\boldsymbol{w}_{1},\boldsymbol{w}_{2},\cdots,\boldsymbol{w}_{n}\)とする。
また、双対空間\(V^{*}\)の双対基底を\(\boldsymbol{v}^{1},\boldsymbol{v}^{2},\cdots,\boldsymbol{v}^{m}\)として、双対空間\(W^{*}\)の双対基底を\(\boldsymbol{w}^{1},\boldsymbol{w}^{2},\cdots,\boldsymbol{w}^{n}\)とする。
任意の\(\boldsymbol{x}\in V\)について、ある\(\boldsymbol{y}\in W\)が存在し、\(f\left(\boldsymbol{x}\right)=\boldsymbol{y}\)となる。
このとき、ある\(\left(x_{k}\right)_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,m\right\} }\subseteq K\)が存在し、\(\boldsymbol{x}=\sum_{k=1}^{m}x^{k}\boldsymbol{v}_{k}\)と表すことができ、\(A\)は\(n\times m\)行列の表現行列なので
\[ \left(f\left(\boldsymbol{v}_{1}\right),f\left(\boldsymbol{v}_{2}\right),\cdots,f\left(\boldsymbol{v}_{m}\right)\right)=\left(\boldsymbol{w}_{1},\boldsymbol{w}_{2},\cdots,\boldsymbol{w}_{n}\right)A \] \[ A\left(\begin{array}{c} x^{1}\\ x^{2}\\ \vdots\\ x^{m} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} y^{1}\\ y^{2}\\ \vdots\\ y^{n} \end{array}\right) \] となり、
\[ f\left(\boldsymbol{x}\right)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\boldsymbol{w}_{i}\left(A\right)_{\;j}^{i}x^{j} \] となる。
また、任意の\(\phi\in W^{*}\)について、ある\(\left(\phi_{k}\right)_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\subseteq K\)が存在し\(\phi=\sum_{k=1}^{n}\phi_{k}\boldsymbol{w}^{k}\)と表すことができる。
また、ある\(\psi\in V^{*}\)が存在し、\(f^{*}\left(\phi\right)=\psi\)を満たすので、
\begin{align*} \psi\left(\boldsymbol{x}\right) & =f^{*}\left(\phi\right)\left(\boldsymbol{x}\right)\\ & =\left(\phi\circ f\right)\left(\boldsymbol{x}\right)\\ & =\phi\left(f\left(\boldsymbol{x}\right)\right)\\ & =\left(\sum_{k=1}^{n}\phi_{k}\boldsymbol{w}^{k}\right)\left(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\boldsymbol{w}_{i}\left(A\right)_{\;j}^{i}x^{j}\right)\\ & =\sum_{k=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\phi_{k}\boldsymbol{w}^{k}\boldsymbol{w}_{i}\left(A\right)_{\;j}^{i}x^{j}\\ & =\sum_{k=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\phi_{k}\delta_{i}^{k}\left(A\right)_{\;j}^{i}x^{j}\\ & =\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\phi_{i}\left(A\right)_{\;j}^{i}x^{j}\\ & =\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\sum_{k=1}^{m}\phi_{i}\left(A\right)_{\;j}^{i}x^{k}\boldsymbol{v}_{k}\boldsymbol{v}^{j}\\ & =\left(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\phi_{i}\left(A\right)_{\;j}^{i}\boldsymbol{v}^{j}\right)\left(\boldsymbol{x}\right) \end{align*} となり、これは任意の\(\boldsymbol{x}\in V\)について成り立つので、
\[ \psi=\sum_{k=1}^{m}\left(\sum_{j=1}^{n}\left(A\right)_{\;k}^{j}\phi_{j}\right)\boldsymbol{v}^{k} \] となり、\(\left(\psi_{k}\right)_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,m\right\} }\subseteq K\)として、\(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{m}\)は1次独立なので、
\[ \psi=\sum_{k=1}^{m}\psi_{k}\boldsymbol{v}^{k} \] \[ \sum_{j=1}^{n}\left(A\right)_{\;k}^{j}\phi_{j}=\psi_{k} \] となる。
これより、\(\sum_{j=1}^{n}\left(A\right)_{\;k}^{j}\phi_{j}=\psi_{k}\)なので、
\[ A^{T}\left(\begin{array}{c} \phi_{1}\\ \phi_{2}\\ \vdots\\ \phi_{n} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} \psi_{1}\\ \psi_{2}\\ \vdots\\ \psi_{m} \end{array}\right) \] となり、
\[ \left(f^{*}\left(\boldsymbol{w}^{1}\right),f^{*}\left(\boldsymbol{w}^{2}\right),\cdots,f^{*}\left(\boldsymbol{w}^{n}\right)\right)=\left(\boldsymbol{v}^{1},\boldsymbol{v}^{2},\cdots,\boldsymbol{v}^{m}\right)A^{T} \] となる。
従って題意は成り立つ。

(1)-2

\(\dim V=m,\dim W=n\)として、\(V\)の基底を\(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{m}\)、\(W\)の基底を\(\boldsymbol{w}_{1},\boldsymbol{w}_{2},\cdots,\boldsymbol{w}_{n}\)とする。
また、双対空間\(V^{*}\)の双対基底を\(\boldsymbol{v}^{1},\boldsymbol{v}^{2},\cdots,\boldsymbol{v}^{m}\)として、双対空間\(W^{*}\)の双対基底を\(\boldsymbol{w}^{1},\boldsymbol{w}^{2},\cdots,\boldsymbol{w}^{n}\)とする。
このとき、\(f\)の\(V\)と\(W\)の基底に関する表現行列を\(A\)とすると、
\[ \left(f\left(\boldsymbol{v}_{1}\right),f\left(\boldsymbol{v}_{2}\right),\cdots,f\left(\boldsymbol{v}_{m}\right)\right)=\left(\boldsymbol{w}_{1},\boldsymbol{w}_{2},\cdots,\boldsymbol{w}_{n}\right)A \] となる。
また、\(f^{*}\)の\(W^{*}\)と\(V^{*}\)の双対基底に関する表現行列を\(B\)とすると、
\[ \left(f^{*}\left(\boldsymbol{w}^{1}\right),f^{*}\left(\boldsymbol{w}^{2}\right),\cdots,f^{*}\left(\boldsymbol{w}^{n}\right)\right)=\left(\boldsymbol{v}^{1},\boldsymbol{v}^{2},\cdots,\boldsymbol{v}^{m}\right)B \] となる。
このとき、
\begin{align*} A & =\left(\begin{array}{c} \boldsymbol{w}^{1}\\ \boldsymbol{w}^{2}\\ \vdots\\ \boldsymbol{w}^{n} \end{array}\right)\left(\boldsymbol{w}_{1},\boldsymbol{w}_{2},\cdots,\boldsymbol{w}_{n}\right)A\\ & =\left(\begin{array}{c} \boldsymbol{w}^{1}\\ \boldsymbol{w}^{2}\\ \vdots\\ \boldsymbol{w}^{n} \end{array}\right)\left(f\left(\boldsymbol{v}_{1}\right),f\left(\boldsymbol{v}_{2}\right),\cdots,f\left(\boldsymbol{v}_{m}\right)\right)\\ & =\left(\begin{array}{c} f^{*}\left(\boldsymbol{w}^{1}\right)\\ f^{*}\left(\boldsymbol{w}^{2}\right)\\ \vdots\\ f^{*}\left(\boldsymbol{w}^{n}\right) \end{array}\right)\left(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{m}\right)\\ & =\left(\left(\boldsymbol{v}^{1},\boldsymbol{v}^{2},\cdots,\boldsymbol{v}^{m}\right)B\right)^{T}\left(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{m}\right)\\ & =B^{T}\left(\begin{array}{c} \boldsymbol{v}^{1}\\ \boldsymbol{v}^{2}\\ \vdots\\ \boldsymbol{v}^{m} \end{array}\right)\left(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{m}\right)\\ & =B^{T}I_{m}\\ & =B^{T} \end{align*} となる。
従って、\(B=A^{T}\)となるので、
\begin{align*} \left(f^{*}\left(\boldsymbol{w}^{1}\right),f^{*}\left(\boldsymbol{w}^{2}\right),\cdots,f^{*}\left(\boldsymbol{w}^{m}\right)\right) & =\left(\boldsymbol{v}^{1},\boldsymbol{v}^{2},\cdots,\boldsymbol{v}^{n}\right)B\\ & =\left(\boldsymbol{v}^{1},\boldsymbol{v}^{2},\cdots,\boldsymbol{v}^{n}\right)A^{T} \end{align*} となる。
故に題意は成り立つ。

(2)

\(V\)は有限次元ベクトル空間なので\(\dim V=\dim V^{*}<\infty\)となり、このとき、\(V\)と\(V^{*}\)は同型\(V\simeq V^{*}\)となる。
同型写像は\(\dim V=n\)として、\(f:V\rightarrow V^{*},\sum_{k=1}^{n}x^{k}\boldsymbol{e}_{k}\rightarrow\sum_{k=1}^{n}x_{k}\boldsymbol{e}^{k}\)とすればよい。
また、同型写像は基底に依存するので、相対的同型となる。

(3)

まず、\(\mu\)が線形写像になることを示す。
任意の\(\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2}\in V,a_{1},a_{2}\in K,\phi\in V^{*}\)について、\(\phi\)は線形写像なので、
\begin{align*} \mu\left(a_{1}\boldsymbol{x}_{1}+a_{2}\boldsymbol{x}_{2}\right)\left(\phi\right) & =\widehat{a_{1}\boldsymbol{x}_{1}+a_{2}\boldsymbol{x}_{2}}\left(\phi\right)\\ & =\phi\left(a_{1}\boldsymbol{x}_{1}+a_{2}\boldsymbol{x}_{2}\right)\\ & =a_{1}\phi\left(\boldsymbol{x}_{1}\right)+a_{2}\phi\left(\boldsymbol{x}_{2}\right)\\ & =a_{1}\widehat{\boldsymbol{x}_{1}}\left(\phi\right)+a_{2}\widehat{\boldsymbol{x}_{2}}\left(\phi\right)\\ & =\left(a_{1}\widehat{\boldsymbol{x}_{1}}+a_{2}\widehat{\boldsymbol{x}_{2}}\right)\left(\phi\right)\\ & =\left(a_{1}\mu\left(\boldsymbol{x}_{1}\right)+a_{2}\mu\left(\boldsymbol{x}_{2}\right)\right)\left(\phi\right) \end{align*} となり、これは任意の\(\phi\in V^{*}\)について成り立つので、\(\mu\left(a_{1}\boldsymbol{x}_{1}+a_{2}\boldsymbol{x}_{2}\right)=a_{1}\mu\left(\boldsymbol{x}_{1}\right)+a_{2}\mu\left(\boldsymbol{x}_{2}\right)\)となる。
従って、\(\mu\)は線形写像になる。
次に\(\mu\)が全単射であることを示す。
\(\dim V=n<\infty\)とすると、\(\dim V^{*}=n\)であり、\(V\)の基底を\(\boldsymbol{e}_{1},\boldsymbol{e}_{2},\cdots,\boldsymbol{e}_{n}\)として、\(V^{*}\)の双対基底を\(\boldsymbol{e}^{1},\boldsymbol{e}^{2},\cdots,\boldsymbol{e}^{n}\)とする。
まず全射であることを示す。
任意の\(\eta\in V^{**}\)について、\(\eta\)は写像\(\eta:V^{*}\rightarrow K\)であり、任意の\(k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} \)について、\(x^{k}=\eta\left(\boldsymbol{e}^{k}\right)\)とおく。
そうして、\(\boldsymbol{x}=\sum_{k=1}^{n}x^{k}\boldsymbol{e}_{k}\)とおき、任意の\(\phi\in V^{*}\)について、\(\phi=\sum_{k=1}^{n}\phi_{k}\boldsymbol{e}^{k}\)と表すことができるので、
\begin{align*} \mu\left(\boldsymbol{x}\right)\left(\phi\right) & =\widehat{\boldsymbol{x}}\left(\phi\right)\\ & =\phi\left(\boldsymbol{x}\right)\\ & =\left(\sum_{j=1}^{n}\phi_{j}\boldsymbol{e}^{j}\right)\left(\sum_{k=1}^{n}x^{k}\boldsymbol{e}_{k}\right)\\ & =\sum_{k=1}^{n}\phi_{k}x^{k}\\ & =\sum_{k=1}^{n}\phi_{k}\eta\left(\boldsymbol{e}^{k}\right)\\ & =\eta\left(\sum_{k=1}^{n}\phi_{k}\boldsymbol{e}^{k}\right)\\ & =\eta\left(\phi\right) \end{align*} となり、これは任意の\(\phi\in V^{*}\)について成り立つので\(\mu\left(\boldsymbol{x}\right)=\eta\)となる。
従って、\(\mu\)は全射である。
次に単射であることを示す。
\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in V\)として、\(\mu\left(\boldsymbol{x}\right)=\mu\left(\boldsymbol{y}\right)\)とする。
このとき、任意の\(\phi\in V^{*}\)について、\(\mu\left(\boldsymbol{x}\right)\left(\phi\right)=\mu\left(\boldsymbol{y}\right)\left(\phi\right)\)となり、
\begin{align*} 0 & =\mu\left(\boldsymbol{x}\right)\left(\phi\right)-\mu\left(\boldsymbol{y}\right)\left(\phi\right)\\ & =\left(\mu\left(\boldsymbol{x}\right)-\mu\left(\boldsymbol{y}\right)\right)\left(\phi\right)\\ & =\mu\left(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right)\left(\phi\right)\\ & =\widehat{\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}}\left(\phi\right)\\ & =\phi\left(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right) \end{align*} となり、これが任意の\(\phi\in V^{*}\)について成り立つので\(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}=\boldsymbol{0}_{V}\)となり\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\)となる。
従って、\(\mu\)は単射である。
これらより、\(\mu\)は単射かつ全射となるので全単射となる。
従って、\(\mu\)は線形写像で全単射なので同型写像となる。
また、この同型写像\(\mu=\widehat{\bullet}:V\rightarrow V^{**},\boldsymbol{x}\mapsto\mu\left(\boldsymbol{x}\right)=\widehat{\boldsymbol{x}}\)は基底に依存しないので絶対的同型となる。
故に題意は成り立つ。