外接円を持つ4角形の角度と対角線の長さ
外接円を持つ4角形の角度と対角線の長さ
4角形\(ABCD\)が外接円をもち、辺の長さを順に\(abcd\)とし、\(\left|\overrightarrow{AC}\right|=p\)とする。

4角形\(ABCD\)が外接円をもち、辺の長さを順に\(abcd\)とし、\(\left|\overrightarrow{AC}\right|=p\)とする。
(1)
\[ B=\cos^{\bullet}\left(\frac{\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}\right)}{2\left(ab+cd\right)}\right) \](2)
\[ p=\sqrt{\frac{cd\left(a^{2}+b^{2}\right)+ab\left(c^{2}+d^{2}\right)}{ab+cd}} \](1)
外接円を持つので対角の和は\(\pi\)となるので、\begin{align*} \cos B & =\frac{a^{2}+b^{2}-p^{2}}{2ab}\\ & =\frac{a^{2}+b^{2}-\left(c^{2}+d^{2}-2cd\cos D\right)}{2ab}\\ & =\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}+2cd\cos\left(B+D-B\right)}{2ab}\\ & =\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}+2cd\left\{ \cos\left(B+D\right)\cos\left(-B\right)-\sin\left(B+D\right)\sin\left(-B\right)\right\} }{2ab}\\ & =\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}-2cd\cos\left(B\right)}{2ab}\\ & =\frac{ab}{ab+cd}\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}+2cd\sin\left(B+D\right)\sin\left(B\right)}{2ab}\\ & =\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}}{2\left(ab+cd\right)} \end{align*} となり、与式は成り立つ。
(2)
(1)より、\begin{align*} p & =\sqrt{a^{2}+b^{2}-2ab\cos B}\\ & =\sqrt{a^{2}+b^{2}-2ab\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}}{2\left(ab+cd\right)}}\\ & =\sqrt{a^{2}+b^{2}-ab\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}}{\left(ab+cd\right)}}\\ & =\sqrt{cd\frac{a^{2}+b^{2}}{ab+cd}+ab\frac{c^{2}+d^{2}}{ab+cd}}\\ & =\sqrt{\frac{cd\left(a^{2}+b^{2}\right)+ab\left(c^{2}+d^{2}\right)}{ab+cd}} \end{align*} となり、与式は成り立つ。
ページ情報
タイトル | 外接円を持つ4角形の角度と対角線の長さ |
URL | https://www.nomuramath.com/m38ryxy7/ |
SNSボタン |
3角形上での3角関数
\[
\sin A+\sin B+\sin C=4\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2}
\]
多角形での内接円の半径
\[
r=\frac{S}{s}
\]
トレミーの定理
\[
\left|\overrightarrow{AB}\right|\left|\overrightarrow{CD}\right|+\left|\overrightarrow{BC}\right|\left|\overrightarrow{DA}\right|=\left|\overrightarrow{BD}\right|\left|\overrightarrow{CA}\right|
\]
チャップル・オイラーの定理とオイラーの不等式と外接円の半径と内接円の半径の比
\[
\left|IJ\right|^{2}=R^{2}-2Rr
\]