2項係数の対称性を使います
2項係数の対称性を使います
次の総和を求めよ。
\[ \sum_{k=0}^{n}kC^{2}\left(n,k\right)=? \]
次の総和を求めよ。
\[ \sum_{k=0}^{n}kC^{2}\left(n,k\right)=? \]
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\(C\left(n,k\right)\)は2項係数\begin{align*}
\sum_{k=0}^{n}kC^{2}\left(n,k\right) & =\frac{1}{2}\left(\sum_{k=0}^{n}kC^{2}\left(n,k\right)+\sum_{k=0}^{n}\left(n-k\right)C^{2}\left(n,n-k\right)\right)\\
& =\frac{n}{2}\sum_{k=0}^{n}C^{2}\left(n,k\right)\\
& =\frac{n}{2}C\left(2n,n\right)
\end{align*}
ページ情報
| タイトル | 2項係数の対称性を使います |
| URL | https://www.nomuramath.com/lsryitga/ |
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分母に3次式の総和
\[
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{\left(4k\right)^{3}-4k}=?
\]
分母にルート同士の和がある総和
\[
\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}+\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{7}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{28}+\sqrt{29}}+\frac{1}{\sqrt{29}+\sqrt{30}}=?
\]
ベータ関数の逆数を含む総和
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{k=0}^{n}\frac{\left(-1\right)^{k}}{B\left(n-k+1,k+1\right)\left(2k+1\right)}=?
\]
偶数ゼータ関数と円周率を含む交代級数
\[
\frac{\zeta\left(2\right)}{\pi^{2}}-\frac{\zeta\left(4\right)}{\pi^{4}}+\frac{\zeta\left(6\right)}{\pi^{6}}-\frac{\zeta\left(8\right)}{\pi^{8}}+\cdots=?
\]