2項変換と交代2項変換の母関数
2項変換と交代2項変換の母関数
2項変換と交代2項変換について、母関数は次のようになります
2項変換
\[ b_{n}=\sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)a_{k} \]
交代2項変換
\[ b_{n}=\sum_{k=0}^{n}\left(-1\right)^{k}C\left(n,k\right)a_{k} \]
2項変換と交代2項変換について、母関数は次のようになります
2項変換
\[ b_{n}=\sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)a_{k} \]
(1)通常型母関数
\[ \sum_{k=0}^{\infty}b_{k}x^{k}=\frac{1}{1-x}\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\left(\frac{x}{1-x}\right)^{k} \](2)指数型母関数
\[ \sum_{k=0}^{\infty}b_{k}\frac{x^{k}}{k!}=e^{x}\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\frac{x^{k}}{k!} \]交代2項変換
\[ b_{n}=\sum_{k=0}^{n}\left(-1\right)^{k}C\left(n,k\right)a_{k} \]
(3)通常型母関数
\[ \sum_{k=0}^{\infty}b_{k}x^{k}=\frac{1}{1-x}\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\left(\frac{-x}{1-x}\right)^{k} \](4)指数型母関数
\[ \sum_{j=0}^{\infty}b_{k}\frac{x^{k}}{k!}=e^{x}\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\frac{\left(-x\right)^{k}}{k!} \]交代2項変換の母関数は、2項変換の母関数で\(a_{k}\rightarrow\left(-1\right)^{k}a_{k}\)とすれば導出できます。
(1)
\begin{align*} \sum_{j=0}^{\infty}b_{j}x^{j} & =\sum_{j=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{j}C\left(j,k\right)a_{k}x^{j}\\ & =\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\sum_{j=k}^{\infty}C\left(j,k\right)x^{j}\\ & =\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}x^{k}\left(1-x\right)^{-\left(k+1\right)}\\ & =\frac{1}{1-x}\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\left(\frac{x}{1-x}\right)^{k} \end{align*}(2)
\begin{align*} \sum_{j=0}^{\infty}b_{j}\frac{x^{j}}{j!} & =\sum_{j=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{j}C\left(j,k\right)a_{k}\frac{x^{j}}{j!}\\ & =\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\sum_{j=k}^{\infty}C\left(j,k\right)\frac{x^{j}}{j!}\\ & =\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\frac{x^{k}}{k!}e^{x}\\ & =e^{x}\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\frac{x^{k}}{k!} \end{align*}(3)
\begin{align*} \sum_{j=0}^{\infty}b_{j}x^{j} & =\sum_{j=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{j}\left(-1\right)^{k}C\left(j,k\right)a_{k}x^{j}\\ & =\sum_{k=0}^{\infty}\left(-1\right)^{k}a_{k}\sum_{j=k}^{\infty}C\left(j,k\right)x^{j}\\ & =\sum_{k=0}^{\infty}\left(-1\right)^{k}a_{k}x^{k}\left(1-x\right)^{-\left(k+1\right)}\\ & =\frac{1}{1-x}\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\left(\frac{-x}{1-x}\right)^{k} \end{align*}(4)
\begin{align*} \sum_{j=0}^{\infty}b_{j}\frac{x^{j}}{j!} & =\sum_{j=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{j}\left(-1\right)^{k}C\left(j,k\right)a_{k}\frac{x^{j}}{j!}\\ & =\sum_{k=0}^{\infty}\left(-1\right)^{k}a_{k}\sum_{j=k}^{\infty}C\left(j,k\right)\frac{x^{j}}{j!}\\ & =\sum_{k=0}^{\infty}\left(-1\right)^{k}a_{k}\frac{x^{k}}{k!}e^{x}\\ & =e^{x}\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\frac{\left(-x\right)^{k}}{k!} \end{align*}
ページ情報
| タイトル | 2項変換と交代2項変換の母関数 |
| URL | https://www.nomuramath.com/ljs22zac/ |
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中央2項係数の通常型母関数
\[
\sum_{k=0}^{\infty}C\left(2k,k\right)z^{k}=\left(1-4z\right)^{-\frac{1}{2}}
\]
2項係数の総和
\[
\sum_{k=0}^{n}P(k,m)C(n,k)=P(n,m)2^{n-m}
\]
中央2項係数を含む通常型母関数
\[
\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k+1}C\left(2k,k\right)z^{k}=\frac{1}{2z}\left\{ 1-\left(1-4z\right)^{\frac{1}{2}}\right\}
\]
ファンデルモンドの畳み込み定理と第1引数の畳み込み
\[
\sum_{j=0}^{k}C(x,j)C(y,k-j)=C(x+y,k)
\]