2項変換と交代2項変換の母関数
2項変換と交代2項変換の母関数
2項変換と交代2項変換について、母関数は次のようになります
2項変換
\[ b_{n}=\sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)a_{k} \]
交代2項変換
\[ b_{n}=\sum_{k=0}^{n}\left(-1\right)^{k}C\left(n,k\right)a_{k} \]
2項変換と交代2項変換について、母関数は次のようになります
2項変換
\[ b_{n}=\sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)a_{k} \]
(1)通常型母関数
\[ \sum_{k=0}^{\infty}b_{k}x^{k}=\frac{1}{1-x}\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\left(\frac{x}{1-x}\right)^{k} \](2)指数型母関数
\[ \sum_{k=0}^{\infty}b_{k}\frac{x^{k}}{k!}=e^{x}\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\frac{x^{k}}{k!} \]交代2項変換
\[ b_{n}=\sum_{k=0}^{n}\left(-1\right)^{k}C\left(n,k\right)a_{k} \]
(3)通常型母関数
\[ \sum_{k=0}^{\infty}b_{k}x^{k}=\frac{1}{1-x}\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\left(\frac{-x}{1-x}\right)^{k} \](4)指数型母関数
\[ \sum_{j=0}^{\infty}b_{k}\frac{x^{k}}{k!}=e^{x}\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\frac{\left(-x\right)^{k}}{k!} \]交代2項変換の母関数は、2項変換の母関数で\(a_{k}\rightarrow\left(-1\right)^{k}a_{k}\)とすれば導出できます。
(1)
\begin{align*} \sum_{j=0}^{\infty}b_{j}x^{j} & =\sum_{j=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{j}C\left(j,k\right)a_{k}x^{j}\\ & =\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\sum_{j=k}^{\infty}C\left(j,k\right)x^{j}\\ & =\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}x^{k}\left(1-x\right)^{-\left(k+1\right)}\\ & =\frac{1}{1-x}\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\left(\frac{x}{1-x}\right)^{k} \end{align*}(2)
\begin{align*} \sum_{j=0}^{\infty}b_{j}\frac{x^{j}}{j!} & =\sum_{j=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{j}C\left(j,k\right)a_{k}\frac{x^{j}}{j!}\\ & =\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\sum_{j=k}^{\infty}C\left(j,k\right)\frac{x^{j}}{j!}\\ & =\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\frac{x^{k}}{k!}e^{x}\\ & =e^{x}\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\frac{x^{k}}{k!} \end{align*}(3)
\begin{align*} \sum_{j=0}^{\infty}b_{j}x^{j} & =\sum_{j=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{j}\left(-1\right)^{k}C\left(j,k\right)a_{k}x^{j}\\ & =\sum_{k=0}^{\infty}\left(-1\right)^{k}a_{k}\sum_{j=k}^{\infty}C\left(j,k\right)x^{j}\\ & =\sum_{k=0}^{\infty}\left(-1\right)^{k}a_{k}x^{k}\left(1-x\right)^{-\left(k+1\right)}\\ & =\frac{1}{1-x}\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\left(\frac{-x}{1-x}\right)^{k} \end{align*}(4)
\begin{align*} \sum_{j=0}^{\infty}b_{j}\frac{x^{j}}{j!} & =\sum_{j=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{j}\left(-1\right)^{k}C\left(j,k\right)a_{k}\frac{x^{j}}{j!}\\ & =\sum_{k=0}^{\infty}\left(-1\right)^{k}a_{k}\sum_{j=k}^{\infty}C\left(j,k\right)\frac{x^{j}}{j!}\\ & =\sum_{k=0}^{\infty}\left(-1\right)^{k}a_{k}\frac{x^{k}}{k!}e^{x}\\ & =e^{x}\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\frac{\left(-x\right)^{k}}{k!} \end{align*}
ページ情報
| タイトル | 2項変換と交代2項変換の母関数 |
| URL | https://www.nomuramath.com/ljs22zac/ |
| SNSボタン |
2項係数の半分までの総和
\[
\sum_{k=0}^{n-1}C\left(2n-1,k\right)=2^{2n-2}
\]
一般ヴァンデルモンドの畳み込み定理
\[
\sum_{k_{1}+\cdots+k_{p}=m}\prod_{j=1}^{p}C\left(n_{j},k_{j}\right)=C\left(\sum_{j=1}^{p}n_{j},m\right)
\]
中央2項係数の値
\[
C\left(2n,n\right)=4^{n}\left(-1\right)^{n}C\left(-\frac{1}{2},n\right)
\]
2項係数の飛び飛びの総和
\[
\sum_{k=-\infty}^{\infty}C\left(mn,mk+l\right)=\frac{1}{m}\sum_{j=0}^{m-1}\left(1+\omega_{m}^{j}\right)^{mn}\left(\omega_{m}^{j}\right)^{-l}
\]