集合族の和集合と積集合の定義
集合族の和集合と積集合の定義
集合族\(\mathcal{A}=\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda\in\Lambda}\)が与えられているとする。
このとき、集合族の和集合と積集合を以下で定義する。
集合族\(\mathcal{A}=\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda\in\Lambda}\)が与えられているとする。
このとき、集合族の和集合と積集合を以下で定義する。
(1)集合族の和集合
\[ \bigcup\mathcal{A}=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}=\left\{ x;\exists\lambda\in\Lambda,x\in A_{\lambda}\right\} \](2)集合族の積集合
\[ \bigcap\mathcal{A}=\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}=\left\{ x;\forall\lambda\in\Lambda,x\in A_{\lambda}\right\} \]\(\mathcal{A}=\left\{ \left\{ a,b\right\} ,\left\{ a,c\right\} ,\left\{ a,d\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} \)とすると、
\[ \bigcup\mathcal{A}=\left\{ a,b\right\} \cup\left\{ a,c\right\} \cup\left\{ a,d\right\} \cup\left\{ a,b,c\right\} =\left\{ a,b,c,d\right\} \] \[ \bigcap\mathcal{A}=\left\{ a,b\right\} \cap\left\{ a,c\right\} \cap\left\{ a,d\right\} \cap\left\{ a,b,c\right\} =\left\{ a\right\} \] となる。
\[ \bigcup\mathcal{A}=\left\{ a,b\right\} \cup\left\{ a,c\right\} \cup\left\{ a,d\right\} \cup\left\{ a,b,c\right\} =\left\{ a,b,c,d\right\} \] \[ \bigcap\mathcal{A}=\left\{ a,b\right\} \cap\left\{ a,c\right\} \cap\left\{ a,d\right\} \cap\left\{ a,b,c\right\} =\left\{ a\right\} \] となる。
ページ情報
| タイトル | 集合族の和集合と積集合の定義 |
| URL | https://www.nomuramath.com/jz5cse2b/ |
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ブロック対角行列の固有多項式と固有値
\[
p_{A}\left(\lambda\right)=\prod_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,r\right\} }p_{A_{k}}\left(\lambda\right)
\]
ブロック対角行列の逆行列
\[
\left(\begin{array}{cccc}
A_{1,1} & O & \cdots & O\\
O & A_{2,2} & \ddots & O\\
\vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\
O & O & \cdots & A_{p,p}
\end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{cccc}
A_{1,1}^{-1} & O & \cdots & O\\
O & A_{2,2}^{-1} & \ddots & O\\
\vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\
O & O & \cdots & A_{p,p}^{-1}
\end{array}\right)
\]
対称ブロック分けのトーレス
\[
\tr\left(\begin{array}{cccc}
A_{1,1} & A_{1,2} & \cdots & A_{1,p}\\
A_{2,1} & A_{2,2} & \ddots & A_{2,p}\\
\vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\
A_{p,1} & A_{p,2} & \cdots & A_{p,p}
\end{array}\right)=\sum_{k=1}^{p}\tr\left(A_{k,k}\right)
\]
ブロック対角行列の和・積・べき乗
\[
\left(\begin{array}{cccc}
A_{11} & O & \cdots & O\\
O & A_{22} & \ddots & O\\
\vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\
O & O & \cdots & A_{pp}
\end{array}\right)^{k}=\left(\begin{array}{cccc}
A_{11}^{k} & O & \cdots & O\\
O & A_{22}^{k} & \ddots & O\\
\vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\
O & O & \cdots & A_{pp}^{k}
\end{array}\right)
\]