集合族の和集合と積集合の定義
集合族の和集合と積集合の定義
集合族\(\mathcal{A}=\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda\in\Lambda}\)が与えられているとする。
このとき、集合族の和集合と積集合を以下で定義する。
集合族\(\mathcal{A}=\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda\in\Lambda}\)が与えられているとする。
このとき、集合族の和集合と積集合を以下で定義する。
(1)集合族の和集合
\[ \bigcup\mathcal{A}=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}=\left\{ x;\exists\lambda\in\Lambda,x\in A_{\lambda}\right\} \](2)集合族の積集合
\[ \bigcap\mathcal{A}=\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}=\left\{ x;\forall\lambda\in\Lambda,x\in A_{\lambda}\right\} \]\(\mathcal{A}=\left\{ \left\{ a,b\right\} ,\left\{ a,c\right\} ,\left\{ a,d\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} \)とすると、
\[ \bigcup\mathcal{A}=\left\{ a,b\right\} \cup\left\{ a,c\right\} \cup\left\{ a,d\right\} \cup\left\{ a,b,c\right\} =\left\{ a,b,c,d\right\} \] \[ \bigcap\mathcal{A}=\left\{ a,b\right\} \cap\left\{ a,c\right\} \cap\left\{ a,d\right\} \cap\left\{ a,b,c\right\} =\left\{ a\right\} \] となる。
\[ \bigcup\mathcal{A}=\left\{ a,b\right\} \cup\left\{ a,c\right\} \cup\left\{ a,d\right\} \cup\left\{ a,b,c\right\} =\left\{ a,b,c,d\right\} \] \[ \bigcap\mathcal{A}=\left\{ a,b\right\} \cap\left\{ a,c\right\} \cap\left\{ a,d\right\} \cap\left\{ a,b,c\right\} =\left\{ a\right\} \] となる。
ページ情報
| タイトル | 集合族の和集合と積集合の定義 |
| URL | https://www.nomuramath.com/jz5cse2b/ |
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連立1次方程式と拡大係数行列の定義と性質
\[
\left(A,\boldsymbol{b}\right)=\left(\begin{array}{cccc|c}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_{1}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_{2}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_{m}
\end{array}\right)
\]
(*)階数の性質
\[
\rank\left(AB\right)\leq\min\left(\rank\left(A\right),\rank\left(B\right)\right)
\]
行列の簡約化と階数(ランク)の定義
\[
\rank\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0
\end{array}\right)=2
\]
主成分・階段行列・簡約行列の定義
\[
\left(\begin{array}{cccc}
1 & 2 & 0 & 2\\
0 & 0 & 1 & 2\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)
\]