(1)

\(\Rightarrow\)

\(x\leq y\)であるとき、任意の自然数\(n\in\mathbb{N}\)に対し
\begin{align*} x-\frac{1}{n} & <x\\ & \leq y \end{align*} となるので\(\Rightarrow\)は成り立つ。

\(\Leftarrow\)

対偶で示す。
\(y<x\)であるならば、ある自然数\(n\in\mathbb{N}\)が存在し、\(y\leq x-\frac{1}{n}\)となることを示せばいい。
\(y<x\)であるとき、\(y\leq x-\frac{1}{n}\)を満たす自然数\(n\in\mathbb{N}\)が存在すればいいので
\begin{align*} n & \geq\frac{1}{x-y}\cmt{\because0<x-y}\\ & >0 \end{align*} より、
\begin{align*} n & =\left\lceil \frac{1}{x-y}\right\rceil \end{align*} と選べばよい。
従って、対偶が示されたので\(\Leftarrow\)は成り立つ。

\(\Leftrightarrow\)

これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。

(2)

対偶をとって\(x,y\)を入れ替えれば(1)になるので証明された。

(2)-2

\(\Rightarrow\)

\(x<y\)であるとき、ある自然数\(n\in\mathbb{N}\)が存在し、\(x+\frac{1}{n}\leq y\)となればいいので、
\begin{align*} n & \geq\frac{1}{y-x}\cmt{\because0<y-x}\\ & >0 \end{align*} より、
\begin{align*} n & =\left\lceil \frac{1}{y-x}\right\rceil \end{align*} と選べばよい。
従って\(\Rightarrow\)が成り立つ。

\(\Leftarrow\)

ある自然数\(n\in\mathbb{N}\)が存在し、\(x+\frac{1}{n}\leq y\)となるとき、
\begin{align*} x & \leq y-\frac{1}{n}\\ & <y \end{align*} となるので\(\Leftarrow\)は成り立つ。

\(\Leftrightarrow\)

これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。