第1種・第2種不完全ガンマ関数の漸化式
第1種・第2種不完全ガンマ関数の漸化式
(1)
\[ \gamma\left(a+1,x\right)=a\gamma\left(a,x\right)-x^{a}e^{-x} \](2)
\[ \Gamma\left(a+1,x\right)=a\Gamma\left(a,x\right)+x^{a}e^{-x} \]-
\(\gamma\left(a,x\right)\)は第1種不完全ガンマ関数、\(\Gamma\left(a,x\right)\)は第2種不完全ガンマ関数(1)
\begin{align*} \gamma\left(a+1,x\right) & =\int_{0}^{x}t^{a}e^{-t}dt\\ & =-\left[t^{a}e^{-t}\right]_{0}^{x}+a\int_{0}^{x}t^{a-1}e^{-t}dt\\ & =a\gamma\left(a,x\right)-x^{a}e^{-x} \end{align*}(2)
\begin{align*} \Gamma\left(a+1,x\right) & =\int_{x}^{\infty}t^{a}e^{-t}dt\\ & =-\left[t^{a}e^{-t}\right]_{x}^{\infty}+a\int_{x}^{\infty}t^{a-1}e^{-t}dt\\ & =a\Gamma\left(a,x\right)+x^{a}e^{-x} \end{align*}
ページ情報
| タイトル | 第1種・第2種不完全ガンマ関数の漸化式 |
| URL | https://www.nomuramath.com/jf1aac7r/ |
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ディガンマ関数の積分表示
\[
\psi\left(z\right)=-\gamma+\int_{0}^{1}\frac{1-x^{z-1}}{1-x}dx
\]
第1種・第2種不完全ガンマ関数の整数値
\[
\gamma\left(n+1,x\right)=-e^{-x}\sum_{k=0}^{n}\left(P\left(n,k\right)x^{n-k}\right)+n!
\]
ポリガンマ(ディガンマ)関数の乗法公式
\[
\psi^{\left(m\right)}\left(nz\right)=\delta_{0,m}\log n+\frac{1}{n^{m+1}}\sum_{k=0}^{n-1}\psi^{\left(m\right)}\left(z+\frac{k}{n}\right)
\]
そのままだとΓ(0)になる積分
\[
\int_{0}^{\infty}\left(x^{-1}e^{-x}-\frac{e^{-nx}}{1-e^{-x}}\right)dx=H_{n-1}-\gamma
\]