(1)

\begin{align*} \boldsymbol{J} & =\frac{\sin\left(2A\right)\boldsymbol{A}+\sin\left(2B\right)\boldsymbol{B}+\sin\left(2C\right)\boldsymbol{C}}{\sin\left(2A\right)+\sin\left(2B\right)+\sin\left(2C\right)}\\ & =\frac{\sin\left(2A\right)\boldsymbol{A}+\sin\left(2B\right)\boldsymbol{B}+\sin\left(2C\right)\boldsymbol{C}}{4\sin A\sin B\sin C}\\ & =2\frac{\sin A\cos A\boldsymbol{A}+\sin B\cos B\boldsymbol{B}+\sin C\cos C\boldsymbol{C}}{4\sin A\sin B\sin C}\\ & =\frac{\sin A\cos\left(\pi-\left(B+C\right)\right)\boldsymbol{A}+\sin B\cos\left(\pi-\left(A+C\right)\right)\boldsymbol{B}+\sin C\cos\left(\pi-\left(A+B\right)\right)\boldsymbol{C}}{2\sin A\sin B\sin C}\\ & =-\frac{\sin A\cos\left(B+C\right)\boldsymbol{A}+\sin B\cos\left(A+C\right)\boldsymbol{B}+\sin C\cos\left(A+B\right)\boldsymbol{C}}{2\sin A\sin B\sin C}\\ & =-\frac{\sin A\left(\cos B\cos C-\sin B\sin C\right)\boldsymbol{A}+\sin B\left(\cos A\cos C-\sin A\sin C\right)\boldsymbol{B}+\sin C\left(\cos A\cos B-\sin A\sin B\right)\boldsymbol{C}}{2\sin A\sin B\sin C}\\ & =-\frac{\sin A\cos B\cos C\boldsymbol{A}+\sin B\cos A\cos C\boldsymbol{B}+\sin C\cos A\cos B\boldsymbol{C}}{2\sin A\sin B\sin C}+\frac{1}{2}\left(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}+\boldsymbol{C}\right)\\ & =-\frac{\tan A\boldsymbol{A}+\tan B\boldsymbol{B}+\tan C\boldsymbol{C}}{2\tan A\tan B\tan C}+\frac{1}{2}\left(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}+\boldsymbol{C}\right)\\ & =-\frac{1}{2}\boldsymbol{H}+\frac{3}{2}\boldsymbol{G} \end{align*} より、
\[ \boldsymbol{H}+2\boldsymbol{J}=3\boldsymbol{G} \] となる。

(2)

\begin{align*} \overrightarrow{JH} & =\boldsymbol{H}-\boldsymbol{J}\\ & =\boldsymbol{H}+2\boldsymbol{J}-3\boldsymbol{J}\\ & =3\boldsymbol{G}-3\boldsymbol{J}\\ & =3\left(\boldsymbol{G}-\boldsymbol{J}\right)\\ & =3\overrightarrow{JG} \end{align*} となるので題意は成り立つ。