傍心円の半径
傍心円の半径
3角形\(ABC\)があり頂点\(A,B,C\)の対辺の長さを\(a,b,c\)とする。
傍心円の半径は
\[ r_{a}=\frac{S}{s-a} \] \[ r_{b}=\frac{S}{s-b} \] \[ r_{c}=\frac{S}{s-c} \] となる。
ここで\(S\)は3角形の面積、\(s\)は半周長\(s=\frac{a+b+c}{2}\)である。
3角形\(ABC\)があり頂点\(A,B,C\)の対辺の長さを\(a,b,c\)とする。
傍心円の半径は
\[ r_{a}=\frac{S}{s-a} \] \[ r_{b}=\frac{S}{s-b} \] \[ r_{c}=\frac{S}{s-c} \] となる。
ここで\(S\)は3角形の面積、\(s\)は半周長\(s=\frac{a+b+c}{2}\)である。
傍心を\(I_{a},I_{b},I_{c}\)とする。
\begin{align*} S & =\left|ABC\right|\\ & =\left|ABI_{a}\right|+\left|ACI_{a}\right|-\left|ABI_{a}\right|\\ & =\frac{1}{2}cr_{a}+\frac{1}{2}br_{b}-\frac{1}{2}ar_{c}\\ & =\frac{1}{2}\left(c+b-a\right)r_{a}\\ & =\left(s-a\right)r_{a} \end{align*} これより、
\[ r_{a}=\frac{S}{s-a} \] 同様に、
\[ r_{b}=\frac{S}{s-b} \] \[ r_{c}=\frac{S}{s-c} \]
\begin{align*} S & =\left|ABC\right|\\ & =\left|ABI_{a}\right|+\left|ACI_{a}\right|-\left|ABI_{a}\right|\\ & =\frac{1}{2}cr_{a}+\frac{1}{2}br_{b}-\frac{1}{2}ar_{c}\\ & =\frac{1}{2}\left(c+b-a\right)r_{a}\\ & =\left(s-a\right)r_{a} \end{align*} これより、
\[ r_{a}=\frac{S}{s-a} \] 同様に、
\[ r_{b}=\frac{S}{s-b} \] \[ r_{c}=\frac{S}{s-c} \]
ページ情報
| タイトル | 傍心円の半径 |
| URL | https://www.nomuramath.com/ivr79hcq/ |
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5心(重心・内心・外心・垂心・傍心)の定義と存在性
3点を通る円
\[
\det\left(\begin{array}{cccc}
x^{2}+y^{2} & x & y & 1\\
x_{1}^{2}+y_{1}^{2} & x_{1} & y_{1} & 1\\
x_{2}^{2}+y_{2}^{2} & x_{2} & y_{2} & 1\\
x_{3}^{2}+y_{3}^{2} & x_{3} & y_{3} & 1
\end{array}\right)=0
\]
3角形の成立条件
\[
\text{3角形の3辺の長さが}a,b,c\Leftrightarrow\left|b-c\right|<a<b+c
\]
ブラーマグプタの公式
\[
S=\sqrt{\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)\left(s-d\right)}
\]