ブロック対角行列の最小多項式

\(A\)を\(n\)次正方行列とする。
最小多項式を
\[ m\left(x\right)=\sum_{k\in\left\{ 0,1,\cdots,m\right\} }a_{k}x^{k} \] とおくと、\(A\)の最小多項式は\(m\left(A\right)=O_{n}\)を満たし、
\begin{align*} O_{n} & =m\left(A\right)\\ & =\sum_{k\in\left\{ 0,1,\cdots,m\right\} }a_{k}A^{k}\\ & =\sum_{k\in\left\{ 0,1,\cdots,m\right\} }a_{k}\left(\diag\left(A_{1},A_{2},\cdots,A_{r}\right)\right)^{n}\\ & =\sum_{k\in\left\{ 0,1,\cdots,m\right\} }a_{k}\diag\left(A_{1}^{n},A_{2}^{n},\cdots,A_{r}^{n}\right)\\ & =\diag\left(\sum_{k\in\left\{ 0,1,\cdots,m\right\} }a_{k}A_{1}^{n},\sum_{k\in\left\{ 0,1,\cdots,m\right\} }a_{k}A_{2}^{n},\cdots,\sum_{k\in\left\{ 0,1,\cdots,m\right\} }a_{k}A_{r}^{n}\right)\\ & =\diag\left(m\left(A_{1}\right),m\left(A_{2}\right),\cdots,m\left(A_{r}\right)\right) \end{align*} となるので、任意の\(k\in\left\{ 1,2,\cdots,r\right\} \)について、\(m\left(A_{k}\right)=O_{n_{k}}\)となり、\(A_{k}\)の最小多項式は\(m_{k}\left(x\right)\)なので\(m_{k}\left(x\right)\mid m\left(x\right)\)となる。
従って、\(m\left(x\right)\)は\(m_{1}\left(x\right),m_{2}\left(x\right),\cdots,m_{r}\left(x\right)\)の公倍数となり、\(m\left(x\right)\)は最小次数でモニック多項式なので、\(m_{1}\left(x\right),m_{2}\left(x\right),\cdots,m_{r}\left(x\right)\)の最小公倍数となる。
これより、
\[ m\left(x\right)=\lcm\left(m_{1}\left(x\right),m_{2}\left(x\right),\cdots,m_{r}\left(x\right)\right) \] となる。