ベータ関数の微分
ベータ関数の微分
\[ \frac{\partial}{\partial x}B(x,y)=B(x,y)\left\{ \psi(x)-\psi(x+y)\right\} \]
\[ \frac{\partial}{\partial x}B(x,y)=B(x,y)\left\{ \psi(x)-\psi(x+y)\right\} \]
\begin{align*}
\frac{\partial}{\partial x}B(x,y) & =\frac{\partial}{\partial x}\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}\\
& =\frac{\Gamma(x)\psi(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}-\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma^{2}(x+y)}\Gamma(x+y)\psi(x+y)\\
& =B(x,y)\left\{ \psi(x)-\psi(x+y)\right\}
\end{align*}
ページ情報
| タイトル | ベータ関数の微分 |
| URL | https://www.nomuramath.com/ia3q02u5/ |
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不完全ベータ関数の級数表示
\[
B\left(z;\alpha,\beta\right)=z^{\alpha}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{C\left(k-\beta,k\right)}{\alpha+k}z^{k}
\]
ベータ関数・不完全ベータ関数の超幾何関数表示
\[
B\left(z;\alpha,\beta\right)=\frac{z^{\alpha}}{\alpha}F\left(\alpha,1-\beta;\alpha+1;z\right)
\]
不完全ベータ関数の性質
\[
B\left(z;\alpha,1\right)=\frac{z^{\alpha}}{\alpha}
\]
ベータ関数の特殊値
\[
B\left(\alpha,1\right)=\frac{1}{\alpha}
\]