(1)

超平面上の任意の点\(Q\)とする。\(\overrightarrow{QP}\)と超平面の単位法線ベクトルの内積が距離\(d\)になるので、
\begin{align*} d & =\left|\overrightarrow{QP}\cdot\frac{\boldsymbol{n}}{\left|\boldsymbol{n}\right|}\right|\\ & =\left|\left(\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OQ}\right)\cdot\frac{\boldsymbol{n}}{\left|\boldsymbol{n}\right|}\right|\\ & =\left|\frac{1}{\left|\boldsymbol{n}\right|}\left(\overrightarrow{OP}\cdot\boldsymbol{n}-\overrightarrow{OQ}\cdot\boldsymbol{n}\right)\right|\\ & =\frac{\left|\overrightarrow{OP}\cdot\boldsymbol{n}+a\right|}{\left|\boldsymbol{n}\right|} \end{align*} となり与式は成り立つ。

(2)

直線上の任意の点\(Q\)とする。
\(\overrightarrow{QP}\)から直線\(\boldsymbol{r}=k\boldsymbol{d}+\boldsymbol{q}\)上に垂直に下した位置は、
\[ \overrightarrow{QP}\cdot\frac{\boldsymbol{d}}{\left|\boldsymbol{d}\right|}\frac{\boldsymbol{d}}{\left|\boldsymbol{d}\right|} \] となるので、
\begin{align*} d & =\left|\overrightarrow{QP}-\overrightarrow{QP}\cdot\frac{\boldsymbol{d}}{\left|\boldsymbol{d}\right|}\frac{\boldsymbol{d}}{\left|\boldsymbol{d}\right|}\right|\\ & =\left|\left(\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OQ}\right)-\left(\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OQ}\right)\cdot\frac{\boldsymbol{d}}{\left|\boldsymbol{d}\right|^{2}}\boldsymbol{d}\right|\\ & =\left|\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OP}\cdot\frac{\boldsymbol{d}}{\left|\boldsymbol{d}\right|^{2}}\boldsymbol{d}+\left(k\boldsymbol{d}+\boldsymbol{q}\right)\cdot\frac{\boldsymbol{d}}{\left|\boldsymbol{d}\right|^{2}}\boldsymbol{d}-\left(k\boldsymbol{d}+\boldsymbol{q}\right)\right|\\ & =\left|\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OP}\cdot\frac{\boldsymbol{d}}{\left|\boldsymbol{d}\right|^{2}}\boldsymbol{d}+\boldsymbol{q}\cdot\frac{\boldsymbol{d}}{\left|\boldsymbol{d}\right|^{2}}\boldsymbol{d}-\boldsymbol{q}\right|\\ & =\left|\overrightarrow{OP}-\boldsymbol{q}-\frac{\left(\overrightarrow{OP}-\boldsymbol{q}\right)\cdot\boldsymbol{d}}{\left|\boldsymbol{d}\right|^{2}}\boldsymbol{d}\right| \end{align*} となり与式は成り立つ。