双心4角形の作図方法
双心4角形の作図方法
双心4角形は次のようにすれば作図ができます。
・点\(J\)を中心に円\(J'\)を描きその円上に4点\(A,B,C',D'\)をとり4角形\(ABC'D'\)を作る。
・角\(D'AB\)と角\(ABC'\)から2等分線を引きその交点を\(I\)とする。
・\(I\)を中心に直線\(D'A,AB,BC'\)に接する円\(I\)を描く。
・直線\(C'D'\)を平行移動して円\(I\)に接するようにして直線\(BC'\)との交点を\(C\)、直線\(D'A\)との交点を\(D\)とする。
・そうすると4角形\(ABCD\)は点\(I\)を中心とする内接円\(I\)と、ある点\(J\)を中心とする外接円\(J\)をもつので双心4角形となる。
双心4角形は次のようにすれば作図ができます。
・点\(J\)を中心に円\(J'\)を描きその円上に4点\(A,B,C',D'\)をとり4角形\(ABC'D'\)を作る。
・角\(D'AB\)と角\(ABC'\)から2等分線を引きその交点を\(I\)とする。
・\(I\)を中心に直線\(D'A,AB,BC'\)に接する円\(I\)を描く。
・直線\(C'D'\)を平行移動して円\(I\)に接するようにして直線\(BC'\)との交点を\(C\)、直線\(D'A\)との交点を\(D\)とする。
・そうすると4角形\(ABCD\)は点\(I\)を中心とする内接円\(I\)と、ある点\(J\)を中心とする外接円\(J\)をもつので双心4角形となる。
内接円と外接円の両方を持つ4角形を双心4角形という。
円\(I\)は明らかに内接円となります。
また、直線\(CD\)と直線\(C'D'\)は平行で点\(C\)は直線\(BC'\)上にあり、点\(D\)は直線\(D'A\)上にあるので、\(\pi=\left|\angle D'AB\right|+\left|\angle BC'D'\right|=\left|\angle DAB\right|+\left|\angle BCD\right|\)となり対角の和が\(180^{\circ}\)になるので外接円をもちます。
従って内接円と外接円をもつので双心4角形となります。
また、直線\(CD\)と直線\(C'D'\)は平行で点\(C\)は直線\(BC'\)上にあり、点\(D\)は直線\(D'A\)上にあるので、\(\pi=\left|\angle D'AB\right|+\left|\angle BC'D'\right|=\left|\angle DAB\right|+\left|\angle BCD\right|\)となり対角の和が\(180^{\circ}\)になるので外接円をもちます。
従って内接円と外接円をもつので双心4角形となります。
ページ情報
| タイトル | 双心4角形の作図方法 |
| URL | https://www.nomuramath.com/h8v9fqdi/ |
| SNSボタン |
円に内接する4角形の余弦
\[
\cos A=\frac{\left|DA\right|^{2}+\left|AB\right|^{2}-\left|BC\right|^{2}-\left|CD\right|^{2}}{2\left(\left|DA\right|\left|AB\right|+\left|BC\right|\left|CD\right|\right)}
\]
チャップル・オイラーの定理とオイラーの不等式と外接円の半径と内接円の半径の比
\[
\left|IJ\right|^{2}=R^{2}-2Rr
\]
円に内接する4角形の対角の和
\[
\angle DAB+\angle BCD=\pi
\]
4角形が円に外接するときの対辺の和
\[
\left|\overrightarrow{AB}\right|+\left|\overrightarrow{CD}\right|=\left|\overrightarrow{BC}\right|+\left|\overrightarrow{DA}\right|
\]