パスカルの法則の一般形
パスカルの法則の一般形
\(n\in\mathbb{N}_{0}\)とする。
\[ C\left(x+n,y+n\right)=\sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)C\left(x,y+k\right) \]
\(n\in\mathbb{N}_{0}\)とする。
\[ C\left(x+n,y+n\right)=\sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)C\left(x,y+k\right) \]
(0)
ファンデルモンドの畳み込み定理より、\begin{align*} \sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)C\left(x,y+k\right) & =\sum_{k=0}^{n}C\left(n,n-k\right)C\left(x,y+n-k\right)\\ & =\sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)C\left(x,y+n-k\right)\\ & =C\left(x+n,y+n\right) \end{align*} となるので与式は成り立つ。
(0)-2
\(n=0\)のとき明らかに成り立つ。\(n=j\)のとき成り立つと仮定すると、\(n=j+1\)のときは、
\begin{align*} C\left(x+j+1,y+j+1\right) & =C\left(x+j,y+j\right)+C\left(x+j,y+1+j\right)\\ & =\sum_{k=0}^{j}C\left(j,k\right)C\left(x,y+k\right)+\sum_{k=0}^{j}C\left(j,k\right)C\left(x,y+k+1\right)\\ & =\sum_{k=0}^{j}C\left(j,k\right)C\left(x,y+k\right)+\sum_{k=1}^{j+1}C\left(j,k-1\right)C\left(x,y+k\right)\\ & =\sum_{k=0}^{j+1}\left\{ C\left(j,k\right)+C\left(j,k-1\right)\right\} C\left(x,y+k\right)\\ & =\sum_{k=0}^{j+1}C\left(j+1,k\right)C\left(x,y+k\right) \end{align*} となるので成り立つ。
故に数学的帰納法より与式は成り立つ。
ページ情報
| タイトル | パスカルの法則の一般形 |
| URL | https://www.nomuramath.com/gkhugivo/ |
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2項係数の半分までの総和
\[
\sum_{k=0}^{n-1}C\left(2n-1,k\right)=2^{2n-2}
\]
パスカルの法則の応用
\[
C\left(x+n,y+n\right)=C\left(x,y+n\right)+\sum_{k=0}^{n-1}C\left(x+k,y+n-1\right)
\]
2項係数の第1引数と第2引数同士の総和
\[
\sum_{j=0}^{k-a}\left(-1\right)^{j}C\left(k,j+a\right)C\left(j+b,c\right)=\begin{cases}
\left(-1\right)^{k-a}C\left(b-a,c-k\right) & a-b+c\leq k\\
0 & k<a-b+c
\end{cases}
\]
2項係数の1項間漸化式
\[
C(x+1,y)=\frac{x+1}{x+1-y}C(x,y)
\]