矩形関数の定義
矩形(くけい)関数は次で定義される。
\[ \mathrm{rect}\left(x\right):=\begin{cases} 1 & \left|x\right|<\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2} & \left|x\right|=\frac{1}{2}\\ 0 & \frac{1}{2}<\left|x\right| \end{cases} \] \(\mathrm{rect}\left(\pm\frac{1}{2}\right)\)は\(\frac{1}{2}\)以外にも\(0,1\)か未定義とすることもあります。
矩形(くけい)関数は次で定義される。
\[ \mathrm{rect}\left(x\right):=\begin{cases} 1 & \left|x\right|<\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2} & \left|x\right|=\frac{1}{2}\\ 0 & \frac{1}{2}<\left|x\right| \end{cases} \] \(\mathrm{rect}\left(\pm\frac{1}{2}\right)\)は\(\frac{1}{2}\)以外にも\(0,1\)か未定義とすることもあります。
(1)
短型(たんけい)関数ではなく矩形(くけい)関数です。\(x\)軸で囲まれる面積は1、すなわち\(\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\text{rect}\left(x\right)dx=1\)となります。
(2)
\(\mathrm{rect}\left(\pm\frac{1}{2}\right)=0\)とした矩形関数は定義関数を用いて\(\mathrm{rect}\left(x\right)=1_{\left(-\frac{1}{2},+\frac{1}{2}\right)}\left(x\right)\)で表すことができます。\(\mathrm{rect}\left(\pm\frac{1}{2}\right)=1\)とした矩形関数は定義関数を用いて\(\mathrm{rect}\left(x\right)=1_{\left[-\frac{1}{2},+\frac{1}{2}\right]}\left(x\right)\)で表すことができます。
\(\mathrm{rect}\left(\pm\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}\)とした矩形関数は定義関数を用いて\(\mathrm{rect}\left(x\right)=\frac{1}{2}\left(1_{\left(-\frac{1}{2},+\frac{1}{2}\right)}\left(x\right)+1_{\left[-\frac{1}{2},+\frac{1}{2}\right]}\left(x\right)\right)\)で表すことができます。
ページ情報
| タイトル | 矩形関数の定義 |
| URL | https://www.nomuramath.com/ftjk5en2/ |
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上極限集合と下極限集合の定義
\[
\limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n}=\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty}A_{k}
\]
集合列と非交和
\[
\bigcup_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }A_{k}=\bigsqcup_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\left(A_{k}\setminus\bigcup_{j=1}^{k-1}A_{j}\right)
\]
集合列と和集合・積集合
\[
\bigcap_{1\leq j<k\leq n}\left(A_{j}\cup A_{k}\right)=\bigcup_{1\leq j\leq n}\bigcap_{1\leq k\leq n,k\ne j}A_{k}
\]
単調増加列・単調減少列同士の積集合と和集合
\[
A_{k}\nearrow_{k\in\mathbb{N}},B_{k}\nearrow_{k\in\mathbb{N}}\Rightarrow\bigcup_{k=1}^{\infty}\left(A_{k}\cap B_{k}\right)=\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}\cap\bigcup_{k=1}^{\infty}B_{k}
\]