(1)

\(\Rightarrow\)

\begin{align*} \exists x\in X,P\left(x\right)\lor Q & \Leftrightarrow\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\lor\left(\exists x\in X,Q\right)\cmt{\because\exists x\left(P\left(x\right)\lor Q\left(x\right)\right)\Leftrightarrow\exists xP\left(x\right)\lor\exists xQ\left(x\right)}\\ & \Rightarrow\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\lor Q\cmt{\because\exists x\in X,Q\Rightarrow Q} \end{align*}

逆は一般的に成り立たない

反例で示す。
\(X=\emptyset,Q\Leftrightarrow\top\)とすると、
\begin{align*} \left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\lor Q & \Leftrightarrow\left(\exists x\in\emptyset,P\left(x\right)\right)\lor\top\\ & \Leftrightarrow\top \end{align*} \begin{align*} \exists x\in X,P\left(x\right)\lor Q & \Leftrightarrow\exists x\in\emptyset,P\left(x\right)\lor\bot\\ & \Leftrightarrow\bot \end{align*} となるので、\(\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\lor Q\Leftrightarrow\top\nRightarrow\bot\Leftrightarrow\exists x\in X,P\left(x\right)\lor Q\)となる。
従って、逆は一般的に成り立たない。

(2)

\begin{align*} \forall x\in X,P\left(x\right)\lor Q & \Leftrightarrow\begin{cases} \forall x\in\emptyset,P\left(x\right)\lor Q & X=\emptyset\\ \forall x\in X,P\left(x\right)\lor Q & X\ne\emptyset \end{cases}\\ & \Leftrightarrow\begin{cases} \top & X=\emptyset\\ \left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\lor Q & X\ne\emptyset \end{cases}\\ & \Leftrightarrow\begin{cases} \top\lor Q & X=\emptyset\\ \left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\lor Q & X\ne\emptyset \end{cases}\\ & \Leftrightarrow\begin{cases} \left(\forall x\in\emptyset,P\left(x\right)\right)\lor Q & X=\emptyset\\ \left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\lor Q & X\ne\emptyset \end{cases}\\ & \Leftrightarrow\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\lor Q \end{align*} となる。
従って、題意は成り立つ。

(3)

(2)より
\[ \forall x\in X,P\left(x\right)\lor Q\Leftrightarrow\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\lor Q \] が成り立つので、対偶をとると、
\[ \exists x\in X,\lnot P\left(x\right)\land\lnot Q\Leftrightarrow\left(\exists x\in X,\lnot P\left(x\right)\right)\land\lnot Q \] となり、\(P\left(x\right)\rightarrow\lnot P\left(x\right),Q\left(x\right)\rightarrow\lnot Q\left(x\right)\)と置き替えると、
\[ \exists x\in X,P\left(x\right)\land Q\Leftrightarrow\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\land Q \] となる。
従って、題意は成り立つ。

(4)

\(\Leftarrow\)

(1)より
\[ \exists x\in X,P\left(x\right)\lor Q\Rightarrow\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\lor Q \] が成り立つので、対偶をとると、
\[ \forall x\in X,\lnot P\left(x\right)\land\lnot Q\Leftarrow\left(\forall x\in X,\lnot P\left(x\right)\right)\land\lnot Q \] となり、\(P\left(x\right)\rightarrow\lnot P\left(x\right),Q\left(x\right)\rightarrow\lnot Q\left(x\right)\)と置き替えると、
\[ \forall x\in X,P\left(x\right)\land Q\Leftarrow\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\land Q \] となる。
従って\(\Leftarrow\)が成り立つ。

逆は一般的に成り立たない

(1)より
\[ \exists x\in X,P\left(x\right)\lor Q\nLeftarrow\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\lor Q \] が成り立つので、対偶をとると、
\[ \forall x\in X,\lnot P\left(x\right)\land\lnot Q\nRightarrow\left(\forall x\in X,\lnot P\left(x\right)\right)\land\lnot Q \] となり、\(P\left(x\right)\rightarrow\lnot P\left(x\right),Q\left(x\right)\rightarrow\lnot Q\left(x\right)\)と置き替えると、
\[ \forall x\in X,P\left(x\right)\land Q\nRightarrow\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\land Q \] となる。
従って逆は一般的に成り立たない。

(5)

\(\Rightarrow\)

(4)より、
\[ \forall x\in X,P\left(x\right)\land Q\Leftarrow\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\land Q \] が成り立っているので、対偶をとると、
\[ \exists x\in X,\lnot P\left(x\right)\lor\lnot Q\Rightarrow\lnot\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\lor\lnot Q \] となり、
\[ \exists x\in X,P\left(x\right)\rightarrow\lnot Q\Rightarrow\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\rightarrow\lnot Q \] となるので\(Q\rightarrow\lnot Q\)と置き替えると、
\[ \exists x\in X,P\left(x\right)\rightarrow Q\Rightarrow\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\rightarrow Q \] となる。
従って題意は成り立つ。

逆は一般的に成り立たない

(4)より、
\[ \forall x\in X,P\left(x\right)\land Q\nRightarrow\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\land Q \] が成り立っているので対偶をとって、\(Q\rightarrow\lnot Q\)と置き替えると、
\[ \exists x\in X,P\left(x\right)\rightarrow Q\nLeftarrow\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\rightarrow Q \] となる。
従って、逆は一般的に成り立たない。

(6)

(3)より、
\[ \exists x\in X,P\left(x\right)\land Q\Leftrightarrow\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\land Q \] が成り立っているので対偶をとると、
\[ \forall x\in X,\lnot P\left(x\right)\lor\lnot Q\Leftrightarrow\lnot\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\lor\lnot Q \] となるので、\(Q\rightarrow\lnot Q\)と置き替えると、
\[ \forall x\in X,P\left(x\right)\rightarrow Q\Leftrightarrow\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\rightarrow Q \] となる。
従って、題意は成り立つ。

(7)

(2)より、
\[ \forall x\in X,P\left(x\right)\lor Q\Leftrightarrow\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\lor Q \] が成り立っているので対偶をとると、
\[ \exists x\in X,P\left(x\right)\downarrow Q\Leftrightarrow\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\downarrow Q \] となる。
従って、題意は成り立つ。

(8)

\(\Leftarrow\)

(1)より、
\[ \exists x\in X,P\left(x\right)\lor Q\Rightarrow\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\lor Q \] が成り立っているので対偶をとると、
\[ \forall x\in X,P\left(x\right)\downarrow Q\Leftarrow\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\downarrow Q \] となる。
従って、題意は成り立つ。

逆は一般的に成り立たない

(1)より、
\[ \exists x\in X,P\left(x\right)\lor Q\nLeftarrow\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\lor Q \] が成り立っているので対偶をとると、
\[ \forall x\in X,P\left(x\right)\downarrow Q\nRightarrow\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\downarrow Q \] となる。
従って、題意は成り立つ。

(9)

\(\Rightarrow\)

(4)より、
\[ \forall x\in X,P\left(x\right)\land Q\Leftarrow\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\land Q \] が成り立っているので対偶をとると、
\[ \exists x\in X,P\left(x\right)\uparrow Q\Rightarrow\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\uparrow Q \] となる。
従って\(\Rightarrow\)が成り立つ。

逆は一般的に成り立たない

(4)より、
\[ \forall x\in X,P\left(x\right)\land Q\nRightarrow\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\land Q \] が成り立っているので対偶をとると、
\[ \exists x\in X,P\left(x\right)\uparrow Q\nLeftarrow\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\uparrow Q \] となる。
従って逆は一般的に成り立たない。

(10)

(3)より、
\[ \exists x\in X,P\left(x\right)\land Q\Leftrightarrow\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\land Q \] が成り立っているので対偶をとると、
\[ \forall x\in X,P\left(x\right)\uparrow Q\Leftrightarrow\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\uparrow Q \] となる。
従って題意は成り立つ。

(11)

(6)より、
\[ \forall x\in X,P\left(x\right)\rightarrow Q\Leftrightarrow\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\rightarrow Q \] が成り立っているので対偶をとると、
\[ \exists x\in X,P\left(x\right)\nrightarrow Q\Leftrightarrow\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\nrightarrow Q \] となる。
従って題意は成り立つ。

(12)

\(\Leftarrow\)

(5)より、
\[ \exists x\in X,P\left(x\right)\rightarrow Q\Rightarrow\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\rightarrow Q \] が成り立っているので対偶をとると、
\[ \forall x\in X,P\left(x\right)\nrightarrow Q\Leftarrow\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\nrightarrow Q \] となる。
従って\(\Leftarrow\)が成り立つ。

逆は一般的に成り立たない

(5)より、
\[ \exists x\in X,P\left(x\right)\rightarrow Q\nLeftarrow\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\rightarrow Q \] が成り立っているので対偶をとると、
\[ \forall x\in X,P\left(x\right)\nrightarrow Q\nRightarrow\left(\forall x\in X,P\left(x\right)\right)\nrightarrow Q \] となる。
従って逆は一般的に成り立たない。