(1)

空集合の場合は\(\forall x\in\emptyset,P\left(x\right)\)は\(x\)となる元が1つもないので全ての元について\(P\left(x\right)\)は真となる。
故に題意は成り立つ。

(1)-2

\begin{align*} \forall x\in\emptyset,P\left(x\right) & \Leftrightarrow\forall x\in\emptyset,x\in\emptyset\rightarrow P\left(x\right)\\ & \Leftrightarrow\forall x\in\emptyset,\top\\ & \Leftrightarrow\top \end{align*}

(2)

空集合の場合は\(\exists x\in\emptyset,P\left(x\right)\)は\(x\)となる元が1つもないので１つも\(P\left(x\right)\)は真とはなれない。
故に題意は成り立つ。

(2)-2

\begin{align*} \exists x\in\emptyset,P\left(x\right) & \Leftrightarrow\exists x\in\emptyset,x\in\emptyset\land P\left(x\right)\\ & \Leftrightarrow\exists x\in\emptyset,\bot\\ & \Leftrightarrow\bot \end{align*}

(2)-3

対偶をとると、\(\left(\forall a\in\emptyset,\lnot P\left(a\right)\right)\Leftrightarrow\top\)となり、\(\lnot P\left(a\right)\)を\(P\left(a\right)\)と置きなおすと、\(\left(\forall a\in\emptyset,P\left(a\right)\right)\Leftrightarrow\top\)となり(1)となるので与式は成り立つ。

(3)

\(X\)が空集合でない場合は明らかに成り立つ。
\(X\)が空集合の場合は\(x\)になる元が1つもないので全ての元に付いて成り立っていて\(\top\)となる。

(3)-2

\begin{align*} \forall x\in X,\top & \Leftrightarrow\begin{cases} \top & X=\emptyset\\ \top & X\ne\emptyset \end{cases}\\ & \Leftrightarrow\top \end{align*}

(4)

\(X\)が空集合でない場合は明らかに成り立つ。
\(X\)が空集合の場合は\(x\)になる元が1つもないので全ての元に付いて成り立っていて\(\top\)となる。

(5)

\(X\)が空集合でない場合は明らかに成り立つ。
\(X\)が空集合の場合は\(x\)になる元が1つもないので成り立っている元が1つもないので\(\bot\)となる。

(6)

\(X\)が空集合でない場合は明らかに成り立つ。
\(X\)が空集合の場合は\(x\)になる元が1つもないので成り立っている元が1つもないので\(\bot\)となる。

(6)-2

\begin{align*} \exists x\in X,\bot & \Leftrightarrow\begin{cases} \bot & X=\emptyset\\ \bot & X\ne\emptyset \end{cases}\\ & \Leftrightarrow\bot \end{align*}

(7)

\(\Leftarrow\)

\(P\)が真であるとき、\(\forall x\in X,P\Leftrightarrow\forall x\in X,\top\Leftrightarrow\top\)となるので、\(P\Rightarrow\forall x\in X,P\)が成り立つ。
従って\(\Leftarrow\)が成り立つ。

逆は一般的に成り立たない

反例で示す。
\(X=\emptyset,P\Leftrightarrow\bot\)とすると、
\begin{align*} \forall x\in X,P & \Leftrightarrow\forall x\in\emptyset,\bot\\ & \Leftrightarrow\top \end{align*} \[ P\Leftrightarrow\bot \] であるので、\(\forall x\in X,P\Leftrightarrow\top\nRightarrow\bot\Leftrightarrow P\)となる。
従って、逆は一般的に成り立たない。

(8)

\(\Rightarrow\)

\(\exists x\in X,P\)が真となるときは\(X\ne\emptyset\)かつ\(P\Leftrightarrow\top\)となるときのみで、このとき\(P\Leftrightarrow\top\)となる。
従って、\(\exists x\in X,P\Leftrightarrow\left(X\ne\emptyset\land P\leftrightarrow T\right)\Rightarrow P\leftrightarrow T\Rightarrow P\)となる。
故に\(\Rightarrow\)が成り立つ。

逆は一般的に成り立たない

反例で示す。
\(X=\emptyset,P\Leftrightarrow\)\(\top\)とすると、
\[ P\Leftrightarrow\top \] \begin{align*} \exists x\in X,P & \Leftrightarrow\exists x\in\emptyset,\top\\ & \Leftrightarrow\bot \end{align*} となるので、\(P\Leftrightarrow\top\nRightarrow\bot\Leftrightarrow\exists x\in X,P\)となる。
従って、逆は一般的に成り立たない。

(9)

\begin{align*} \forall xP\left(x\right)\rightarrow\exists xP\left(x\right) & \Leftrightarrow\lnot\left(\forall xP\right)\lor\exists xP\\ & \Leftrightarrow\exists x\lnot P\lor\exists xP\\ & \Leftrightarrow\exists x\left(\lnot P\lor P\right)\\ & \Leftrightarrow\exists x\top \end{align*}